Escreva as frações decimais e como:
(a) uma série infinita;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para escrever as frações decimais e como séries infinitas. Esse problema está relacionado ao estudo das séries geométricas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma dízima periódica em uma soma infinita de termos que segue uma razão fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira fração decimal: . Essa é uma dízima periódica onde o bloco repetitivo é “412”. Podemos escrever isso como uma soma infinita onde cada bloco “412” é multiplicado por uma potência de , já que cada repetição ocorre a cada três casas decimais.

Passo 3

Então, a série infinita para fica assim:
Podemos fatorar o termo inicial:

Passo 4

Reconhecemos que dentro dos parênteses temos uma progressão geométrica com primeiro termo e razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aplicando isso, temos:

Passo 5

Multiplicando pelo termo inicial:
Portanto, a primeira fração decimal pode ser escrita como a série infinita:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda fração decimal: . Aqui, temos duas partes: “02” e o bloco repetitivo “34”. Podemos separar isso em duas séries.

Passo 7

Primeiro, a parte não repetitiva:
Depois, a parte repetitiva “34” que começa após as duas primeiras casas decimais:
Essa parte repetitiva pode ser escrita como:
Fatorando:

Passo 8

Essa também é uma série geométrica com primeiro termo e razão . A soma é:

Passo 9

Multiplicando pelo termo inicial:
Agora, somamos as duas partes:

Resposta

As frações decimais podem ser escritas como séries infinitas da seguinte forma:
e

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
f)
Considere a série para resolver os itens abaixo.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se converge e , então converge.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i)