Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i) ly^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=x e^x+5 y(0)=y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação de terceira ordem com termos não homogêneos e algumas condições iniciais. Vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados através de anuladores. Então, primeiro, vamos entender o que precisamos fazer: encontrar a solução geral da equação e ajustar essa solução usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver a equação associada onde o lado direito é igual a zero:
y''' - 2 y'' + y' = 0
Para isso, encontramos a equação característica substituindo r^3 - 2 r^2 + r = 0 :
r(r^2 - 2 r + 1) = 0 implies r = 0 ou r = 1 (raiz dupla)
Fatorando, temos:

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^0x + C2 e^x + C3 x e^x = C1 + C2 e^x + C3 x e^x
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular ( y''' - 2 y'' + y' = x e^x + 5 ) para a equação completa:
yp1 = (A x^3 + B x^2) e^x
Usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito tem dois termos: yp2 = D x + E x^2 e yp = yp1 + yp2 = (A x^3 + B x^2) e^x + D x + E x^2 .
Para : Como já é uma solução da parte homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos nosso palpite por :
Para : Como 5 é uma constante e já inclui termos constantes, multiplicamos por :
Então, a solução particular total é:

Passo 5

Substituímos y = yh + yp = C1 + C2 e^x + C3 x e^x + (A x^3 + B x^2) e^x + D x + E x^2 na equação diferencial original e resolvemos para os coeficientes e . Isso envolve derivar até a terceira ordem, substituir na equação e igualar os coeficientes dos termos correspondentes.
Após encontrar os valores de e , temos a solução geral:

Passo 6

Por fim, aplicamos as condições iniciais , e para determinar os valores das constantes e . Substituímos e calculamos as derivadas para encontrar um sistema de equações que resolvemos para essas constantes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 2 + e^x(3 + x) + x

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