Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação de terceira ordem com termos não homogêneos e algumas condições iniciais. Vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados através de anuladores. Então, primeiro, vamos entender o que precisamos fazer: encontrar a solução geral da equação e ajustar essa solução usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver a equação associada onde o lado direito é igual a zero:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo :
Fatorando, temos:

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito tem dois termos: e .
Para : Como já é uma solução da parte homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos nosso palpite por :
Para : Como 5 é uma constante e já inclui termos constantes, multiplicamos por :
Então, a solução particular total é:

Passo 5

Substituímos na equação diferencial original e resolvemos para os coeficientes e . Isso envolve derivar até a terceira ordem, substituir na equação e igualar os coeficientes dos termos correspondentes.
Após encontrar os valores de e , temos a solução geral:

Passo 6

Por fim, aplicamos as condições iniciais , e para determinar os valores das constantes e . Substituímos e calculamos as derivadas para encontrar um sistema de equações que resolvemos para essas constantes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se converge e , então converge.
Escreva as frações decimais e como:
(a) uma série infinita;
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
j)
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)