Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação de terceira ordem com termos não homogêneos e algumas condições iniciais. Vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados através de anuladores. Então, primeiro, vamos entender o que precisamos fazer: encontrar a solução geral da equação e ajustar essa solução usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver a equação associada onde o lado direito é igual a zero:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo
:
Fatorando, temos:
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular (
) para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito tem dois termos:
e
.
Para
: Como
já é uma solução da parte homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos nosso palpite por
:
Para
: Como 5 é uma constante e
já inclui termos constantes, multiplicamos por
:
Então, a solução particular total é:
Passo 5
Substituímos
na equação diferencial original e resolvemos para os coeficientes
e
. Isso envolve derivar
até a terceira ordem, substituir na equação e igualar os coeficientes dos termos correspondentes.
Após encontrar os valores de
e
, temos a solução geral:
Passo 6
Por fim, aplicamos as condições iniciais
,
e
para determinar os valores das constantes
e
. Substituímos
e calculamos as derivadas para encontrar um sistema de equações que resolvemos para essas constantes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se converge e
, então
converge.
( ) Se
Escreva as frações decimais
e
como:
(a) uma série infinita;
(a) uma série infinita;
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
j)
j)
Bucontre a transformada de Laplace das seguintes funçöes: ( 4 pontos)