Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que
e que
, então
diverge.
( ) Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem uma sequência
que é sempre positiva e que, quando n cresce para o infinito, o limite de
é 1. A pergunta é: a soma infinita desses termos
diverge, ou seja, não tem um valor finito? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do teste da divergência (ou teste do termo geral). Esse teste diz que se o limite dos termos
quando n vai para o infinito não é zero, então a série
diverge. Ou seja, ela não soma para um número finito.
Passo 3
No nosso caso, temos que
. Isso significa que os termos da sequência não estão se aproximando de zero, mas sim ficando em 1. Segundo o teste da divergência, se os termos não vão para zero, a série não pode convergir.
Passo 4
Aplicando o teste da divergência aqui: já que
, concluímos que a série
diverge.
Resposta
Verdadeiro. A série diverge porque o limite dos termos não é zero.
Exercícios relacionados
Justifique as seguintes igualdades:
(b)
(b)
Considere a série
para resolver os itens abaixo.
(d) Calcule .
(d) Calcule
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime
e
com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime
e
com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.