Assinale V ou F: (a) [ ] Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série
.” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos falar sobre o teste da integral, que é uma ferramenta da matemática usada para verificar se uma série infinita converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste diz que, se você tem uma série da forma
, onde
é uma função contínua, positiva e decrescente para
, então a série converge se e somente se a integral de
de
até o infinito também converge. Em fórmulas, se
converge, então a série
também converge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série:
. Primeiro, analisamos a função
. Para usar o teste da integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo
.
Passo 4
Vamos verificar essas condições:
- Continuidade: A função
é contínua para , e também é contínua para . Então, é contínua para . - Decrescimento: A função
é decrescente, mas precisamos ver o impacto de . A função cosseno oscila entre -1 e 1, então também oscila. - Positividade: Aqui está o problema! Como
oscila entre valores positivos e negativos, a função nem sempre é positiva. Isso significa que não atende à condição de ser sempre positiva.
Passo 5
Como a função
não é sempre positiva, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Esse teste requer que a função seja positiva, contínua e decrescente para todo
a partir de um certo ponto. Como uma dessas condições (positividade) não é satisfeita, o teste da integral não é aplicável nesse caso.
Resposta
F
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Em cada item, faça o que se pede. (a)
pontos
Determine a solução do PVI
.
Assinale V ou F: (e) [ ] Um fator integrante para EDO
é
.
Calcule as seguintes integrais:
Seja
. Determinar
de maneira que região acima do gráfico de
e inferior de
tenha área
.