Assinale V ou F: (a) [ ] Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série sumn=2^infty cos (ln n)n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série sumn=2^infty cos (ln n)n.” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos falar sobre o teste da integral, que é uma ferramenta da matemática usada para verificar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste diz que, se você tem uma série da forma sumn=a^infty f(n), onde f(n) é uma função contínua, positiva e decrescente para n >= a, então a série converge se e somente se a integral de f(x) de a até o infinito também converge. Em fórmulas, se
integrala^infty f(x) , dx
converge, então a série sumn=a^infty f(n) também converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série: sumn=2^infty cos (ln n)n. Primeiro, analisamos a função f(n) = cos (ln n)n. Para usar o teste da integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo n >= 2.

Passo 4

Vamos verificar essas condições:
  1. Continuidade: A função cos (ln n) é contínua para n > 0, e 1n também é contínua para n > 0. Então, f(n) é contínua para n >= 2.
  2. Decrescimento: A função 1n é decrescente, mas precisamos ver o impacto de cos (ln n). A função cosseno oscila entre -1 e 1, então cos (ln n) também oscila.
  3. Positividade: Aqui está o problema! Como cos (ln n) oscila entre valores positivos e negativos, a função f(n) nem sempre é positiva. Isso significa que f(n) não atende à condição de ser sempre positiva.

Passo 5

Como a função f(n) não é sempre positiva, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Esse teste requer que a função seja positiva, contínua e decrescente para todo n a partir de um certo ponto. Como uma dessas condições (positividade) não é satisfeita, o teste da integral não é aplicável nesse caso.

Resposta

F

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