Assinale V ou F: (a) [ ] Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: “Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série .” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos falar sobre o teste da integral, que é uma ferramenta da matemática usada para verificar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste diz que, se você tem uma série da forma , onde é uma função contínua, positiva e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral de de até o infinito também converge. Em fórmulas, se
converge, então a série também converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série: . Primeiro, analisamos a função . Para usar o teste da integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo .

Passo 4

Vamos verificar essas condições:
  1. Continuidade: A função é contínua para , e também é contínua para . Então, é contínua para .
  2. Decrescimento: A função é decrescente, mas precisamos ver o impacto de . A função cosseno oscila entre -1 e 1, então também oscila.
  3. Positividade: Aqui está o problema! Como oscila entre valores positivos e negativos, a função nem sempre é positiva. Isso significa que não atende à condição de ser sempre positiva.

Passo 5

Como a função não é sempre positiva, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Esse teste requer que a função seja positiva, contínua e decrescente para todo a partir de um certo ponto. Como uma dessas condições (positividade) não é satisfeita, o teste da integral não é aplicável nesse caso.

Resposta

F

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Seja . Determinar de maneira que região acima do gráfico de e inferior de tenha área .