Seja . Determinar de maneira que região acima do gráfico de e inferior de tenha área .

Passo 1

Então, temos duas funções: e . A gente precisa encontrar o valor de de modo que a área entre essas duas curvas, especificamente a área que fica acima de e abaixo de , seja igual a . Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo, especialmente o conceito de área entre duas curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se interceptam. Isso acontece quando :
Vamos resolver essa equação para :
Portanto, as soluções são:
Então, as funções se interceptam em e .

Passo 3

Agora, vamos entender onde uma função está acima da outra. Sabemos que queremos a área onde está acima de . Para isso, precisamos verificar o comportamento das funções entre os pontos de interseção.
Vamos analisar o intervalo . Tomando um valor de teste, por exemplo, , e substituindo nas funções:
Com isso, podemos ver que nesse intervalo, confirmando que a área que queremos calcular está entre e .

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções e :
Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Á
Substituindo os limites de integração:
Á
Simplificando:
Á

Passo 6

Sabemos que essa área deve ser igual a . Então, temos:
Vamos resolver para :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição dada é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Assinale V ou F: (a) [ ] Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série .
A base do sólido é o conjunto de ordenadas da função no intervalo . Todas as seções perpendiculares a são quadrados. O volume do sólido é
para todo . Suponha contínua em . Determine .
Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
Determinar o comprimento total do gráfico da função .