Seja . Determinar de maneira que região acima do gráfico de e inferior de tenha área .
Passo 1
Então, temos duas funções: e . A gente precisa encontrar o valor de de modo que a área entre essas duas curvas, especificamente a área que fica acima de e abaixo de , seja igual a . Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo, especialmente o conceito de área entre duas curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se interceptam. Isso acontece quando :
Vamos resolver essa equação para :
Portanto, as soluções são:
Então, as funções se interceptam em e .
Passo 3
Agora, vamos entender onde uma função está acima da outra. Sabemos que queremos a área onde está acima de . Para isso, precisamos verificar o comportamento das funções entre os pontos de interseção.
Vamos analisar o intervalo . Tomando um valor de teste, por exemplo, , e substituindo nas funções:
Com isso, podemos ver que nesse intervalo, confirmando que a área que queremos calcular está entre e .
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções e :
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de integração:
Á
Simplificando:
Á
Passo 6
Sabemos que essa área deve ser igual a . Então, temos: