Em cada item, faça o que se pede. (a)
pontos
Determine a solução do PVI
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que você enviou! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
. No nosso caso, a equação já está quase nessa forma:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, já que agora temos uma expressão mais simples para integrar.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é apenas
. No lado direito, precisamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes.
Passo 7
Aplicando a integração por partes no lado direito:
Então, temos:
Passo 8
Agora, vamos isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então, substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é
.
Exercícios relacionados
Assinale V ou F: (e) [ ] Um fator integrante para EDO
é
.
Em cada item, faça o que se pede. ©
pontos
Determine uma expansão em série de potências para a função definida por
em torno de
.
Assinale V ou F: (a) [ ] Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série
.
Calcule as seguintes integrais: