Em cada item, faça o que se pede. (a) 10 pontos ] Determine a solução do PVI y' - y = 2 x e^(2 x), y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que você enviou! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem: . No nosso caso, a equação já está quase nessa forma:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, já que agora temos uma expressão mais simples para integrar.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é apenas . No lado direito, precisamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes.

Passo 7

Aplicando a integração por partes no lado direito:
Então, temos:

Passo 8

Agora, vamos isolar multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, substituindo na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é .

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