Calcule as seguintes integrais: integral x d x4-x^2+raiz4-x^2

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral:
integral x , dx4 - x^2 + raiz4 - x^2
Esse problema envolve Cálculo de Integrais, especificamente o uso de técnicas de substituição para resolver integrais que contêm expressões radicais. Vamos precisar escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para simplificar a expressão. Observamos que a expressão u = 4 - x^2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx em relação a x , dx = -du2 para substituir na integral. Derivando em relação a :
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo integral x , dx4 - x^2 + raiz4 - x^2 = integral -du2 u + raizu e - 12 integral duu + raizu na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador u + raizu = raizu (raizu + 1) . Fatorando - 12 integral duraizu (raizu + 1) :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Para simplificar ainda mais, vamos fazer uma nova substituição. Definimos:
t = raizu Rightarrow u = t^2 e du = 2t , dt

Passo 7

Substituindo - 12 integral 2t , dtt (t + 1) = - 12 integral 2t + 1 , dt = - integral 1t + 1 , dt e na integral:

Passo 8

A integral de - ln|t + 1| + C em relação a é o logaritmo natural:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando às variáveis originais, lembramos que:
t = raizu = raiz4 - x^2
Então, substituindo de volta:
- ln(1 + raiz4 - x^2) + C

Resposta

A integral é igual a .

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