Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral:
Esse problema envolve Cálculo de Integrais, especificamente o uso de técnicas de substituição para resolver integrais que contêm expressões radicais. Vamos precisar escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para simplificar a expressão. Observamos que a expressão aparece tanto no numerador quanto no denominador. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de em relação a para substituir na integral. Derivando em relação a :
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador . Fatorando :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Para simplificar ainda mais, vamos fazer uma nova substituição. Definimos:

Passo 7

Substituindo e na integral:

Passo 8

A integral de em relação a é o logaritmo natural:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando às variáveis originais, lembramos que:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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