Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral:
Esse problema envolve Cálculo de Integrais, especificamente o uso de técnicas de substituição para resolver integrais que contêm expressões radicais. Vamos precisar escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída para simplificar a expressão. Observamos que a expressão
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando
em relação a
:
Queremos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador
. Fatorando
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Para simplificar ainda mais, vamos fazer uma nova substituição. Definimos:
Passo 7
Substituindo
e
na integral:
Passo 8
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando às variáveis originais, lembramos que:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Assinale V ou F: (a) [ ] Podemos aplicar o teste da integral para estudar a convergência da série
.
Em cada item, faça o que se pede. (a)
pontos
Determine a solução do PVI
.
Seja
. Determinar
de maneira que região acima do gráfico de
e inferior de
tenha área
.
A base do sólido
é o conjunto de ordenadas da função
no intervalo
. Todas as seções perpendiculares a
são quadrados. O volume do sólido é
para todo
. Suponha
contínua em
. Determine
.