Encontre o(s) ponto(s) critico(s) da função, indique se esta dentro de e classifique esse(s) ponto(s). (Dica: Use o critério das segundas derivadas).
Dada a função , definida em região triangular fechada com vértices e . (Dica: a função linear que passa pelos pontos e é e, a função linear que passa pelos pontos e é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função dentro da região triangular com vértices em , e . Para isso, vamos usar o critério das segundas derivadas, que ajuda a classificar os pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da região . A região é um triângulo com vértices em , e . As restrições das laterais são dadas pelas equações e .
Vamos verificar se está dentro dessas linhas:
Para :
Para :
E também, . Portanto, está dentro da região triangular .

Passo 4

Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o critério das segundas derivadas. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Como e , o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é , que está dentro da região e é um mínimo local da função.

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?
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