Encontre o(s) ponto(s) critico(s) da função, indique se esta dentro de D e classifique esse(s) ponto(s). (Dica: Use o critério das segundas derivadas).
Dada a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x, definida em D região triangular fechada com vértices (2,0), (0,2) e (0, -2). (Dica: a função linear que passa pelos pontos 2,0 e 0,2 é y = -x + 2 e, a função linear que passa pelos pontos 2,0 e (0, -2) é y = x - 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função dentro da região triangular com vértices em , e . Para isso, vamos usar o critério das segundas derivadas, que ajuda a classificar os pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da região . A região é um triângulo com vértices em , e . As restrições das laterais são dadas pelas equações e .
Vamos verificar se está dentro dessas linhas:
Para :
Para :
E também, . Portanto, está dentro da região triangular .

Passo 4

Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o critério das segundas derivadas. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Como e , o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é , que está dentro da região e é um mínimo local da função.

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