Encontre o(s) ponto(s) critico(s) da função, indique se esta dentro de
e classifique esse(s) ponto(s). (Dica: Use o critério das segundas derivadas).
Dada a função
, definida em
região triangular fechada com vértices
e
. (Dica: a função linear que passa pelos pontos
e
é
e, a função linear que passa pelos pontos
e
é
Dada a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
dentro da região triangular
com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar o critério das segundas derivadas, que ajuda a classificar os pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos ambas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da região
. A região é um triângulo com vértices em
,
e
. As restrições das laterais são dadas pelas equações
e
.
Vamos verificar se
está dentro dessas linhas:
Para
:
Para
:
E também,
. Portanto,
está dentro da região triangular
.
Passo 4
Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o critério das segundas derivadas. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico é
, que está dentro da região
e é um mínimo local da função.
Exercícios relacionados
Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado.
, onde
.
Determine a derivada parcial indicada
?
Assinale V ou F: A série de potências
converge para
;
Assinale V ou F: Se
é convergente e
, então
é convergente para todo
;