Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. , onde .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para usarmos a Regra da Cadeia com um diagrama em árvore para a função dada. O que isso quer dizer é que temos uma função composta onde depende de , e , e cada uma dessas depende das variáveis , , e . Para resolver, vamos precisar entender a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis e como representá-la usando um diagrama em árvore.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
  • : é uma função que depende de , e .
  • , , : cada uma dessas funções depende das variáveis , , e .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos ajuda a calcular as derivadas parciais de em relação a , , e . Isso significa que queremos saber como uma pequena variação em , por exemplo, afeta através de , e .

Passo 4

Vamos construir um diagrama em árvore para visualizar como as variáveis estão conectadas:
  1. No topo da árvore, temos .
  2. Abaixo de , temos três ramos para , e .
  3. Cada um desses ramos se conecta às variáveis , , e .
Esse diagrama mostra que depende de , e , que por sua vez dependem de , , e .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar, por exemplo, a derivada parcial de em relação a :
Isso significa que para encontrar como muda com , somamos as contribuições de , e em relação a .

Passo 6

De forma geral, para cada variável , , e , a derivada parcial de será:
onde representa qualquer uma das variáveis , , ou .

Resposta

Usando o diagrama em árvore e a Regra da Cadeia, a derivada parcial de em relação a cada variável , , e é dada por:
onde pode ser , , ou .

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