Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado.
, onde
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para usarmos a Regra da Cadeia com um diagrama em árvore para a função dada. O que isso quer dizer é que temos uma função composta onde
depende de
,
e
, e cada uma dessas depende das variáveis
,
,
e
. Para resolver, vamos precisar entender a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis e como representá-la usando um diagrama em árvore.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
-
: é uma função que depende de , e . -
, , : cada uma dessas funções depende das variáveis , , e .
Passo 3
A Regra da Cadeia nos ajuda a calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
. Isso significa que queremos saber como uma pequena variação em
, por exemplo, afeta
através de
,
e
.
Passo 4
Vamos construir um diagrama em árvore para visualizar como as variáveis estão conectadas:
- No topo da árvore, temos
. - Abaixo de
, temos três ramos para , e . - Cada um desses ramos se conecta às variáveis
, , e .
Esse diagrama mostra que
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
,
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar, por exemplo, a derivada parcial de
em relação a
:
Isso significa que para encontrar como
muda com
, somamos as contribuições de
,
e
em relação a
.
Passo 6
De forma geral, para cada variável
,
,
e
, a derivada parcial de
será:
onde
representa qualquer uma das variáveis
,
,
ou
.
Resposta
Usando o diagrama em árvore e a Regra da Cadeia, a derivada parcial de
em relação a cada variável
,
,
e
é dada por:
onde
pode ser
,
,
ou
.
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Determine a derivada parcial indicada
?
Determine
e o conjunto no qual
é contínua
Encontre o(s) ponto(s) critico(s) da função, indique se esta dentro de
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região triangular fechada com vértices
e
. (Dica: a função linear que passa pelos pontos
e
é
e, a função linear que passa pelos pontos
e
é
Dada a função
Assinale V ou F: A série de potências
converge para
;