Assinale V ou F e não são grupos pois, por exemplo, 0 não possui inverso em nenhum destes conjuntos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está falando. A afirmação diz que os conjuntos , e não são grupos porque, por exemplo, o número 0 não tem inverso em nenhum desses conjuntos. Vamos ver se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, precisamos lembrar o que é um grupo e o que significa ter inversos.
Passo 2
Primeiro, um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de um elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
No caso, a operação é a multiplicação (). Vamos analisar cada conjunto:
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Elemento neutro: O número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo.
Inversos: Um número inteiro teria um inverso multiplicativo se existisse outro inteiro tal que . Porém, exceto para 1 e -1, não existem inversos multiplicativos dentro dos inteiros. Por exemplo, 2 não tem um inteiro tal que .
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Elemento neutro: Também é 1.
Inversos: Aqui, todo número racional diferente de 0 tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, o inverso de 2 é . No entanto, o problema mencionado é com 0, que não possui inverso multiplicativo, pois não existe nenhum número que multiplicado por 0 dê 1.
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Elemento neutro: Novamente, 1.
Inversos: Similar aos racionais, todo número real diferente de 0 tem um inverso multiplicativo. Mas, novamente, 0 não possui inverso.
Passo 3
A questão destaca que 0 não possui inverso multiplicativo nesses conjuntos. Vamos ver por quê:
Para ter um inverso multiplicativo, precisamos de um número tal que . Mas qualquer número multiplicado por 0 é 0, nunca 1. Portanto, 0 realmente não tem inverso multiplicativo.
Como o grupo precisa que todos os elementos tenham inversos, a falta de inverso para 0 faz com que esses conjuntos não sejam grupos sob a operação de multiplicação.