Assinale V ou F
(Z, cdot),(Q, cdot) e (R, cdot) não são grupos pois, por exemplo, 0 não possui inverso em nenhum destes conjuntos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está falando. A afirmação diz que os conjuntos (Z, cdot), (Q, cdot) e (R, cdot) não são grupos porque, por exemplo, o número 0 não tem inverso em nenhum desses conjuntos. Vamos ver se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, precisamos lembrar o que é um grupo e o que significa ter inversos.

Passo 2

Primeiro, um grupo é um conjunto acompanhado de uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de um elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
No caso, a operação é a multiplicação ( cdot). Vamos analisar cada conjunto:
  1. (Z, cdot):
    • Elemento neutro: O número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo.
    • Inversos: Um número inteiro a teria um inverso multiplicativo se existisse outro inteiro b tal que a cdot b = 1. Porém, exceto para 1 e -1, não existem inversos multiplicativos dentro dos inteiros. Por exemplo, 2 não tem um inteiro b tal que 2 cdot b = 1.
  2. (Q, cdot):
    • Elemento neutro: Também é 1.
    • Inversos: Aqui, todo número racional diferente de 0 tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, o inverso de 2 é 12. No entanto, o problema mencionado é com 0, que não possui inverso multiplicativo, pois não existe nenhum número que multiplicado por 0 dê 1.
  3. (R, cdot):
    • Elemento neutro: Novamente, 1.
    • Inversos: Similar aos racionais, todo número real diferente de 0 tem um inverso multiplicativo. Mas, novamente, 0 não possui inverso.

Passo 3

A questão destaca que 0 não possui inverso multiplicativo nesses conjuntos. Vamos ver por quê:
  • Para ter um inverso multiplicativo, precisamos de um número b tal que 0 cdot b = 1. Mas qualquer número multiplicado por 0 é 0, nunca 1. Portanto, 0 realmente não tem inverso multiplicativo.
Como o grupo precisa que todos os elementos tenham inversos, a falta de inverso para 0 faz com que esses conjuntos não sejam grupos sob a operação de multiplicação.

Resposta

Verdadeiro.

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