(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
23.7[llll0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando operações elementares nas linhas. A matéria que estamos vendo é Cálculo de Determinantes, e para isso, precisamos entender como simplificar a matriz para facilitar o cálculo do determinante final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que operações elementares nas linhas podem facilitar bastante nosso trabalho. Essas operações são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Lembrando que trocar linhas muda o sinal do determinante, multiplicar uma linha por um número multiplica o determinante por esse número, e adicionar múltiplos de uma linha não muda o determinante.

Passo 3

Vamos começar aplicando essas operações para simplificar a matriz. Olhando para a primeira coluna, vemos que ela tem três 1’s e um 0. Seria bom ter um 1 no topo para facilitar. Mas já temos um 0 na primeira posição, então vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para trazer um 1 para a posição (1,1).
Após a troca, a matriz fica assim:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0
Lembre-se que trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira e da quarta linha.
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1
Essas operações não alteram o determinante.

Passo 5

Agora, olhamos para a segunda coluna. Já temos um 1 na posição (2,2). Vamos usar essa linha para zerar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & -1
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Essas subtrações também não mudam o determinante.

Passo 6

Agora, nossa matriz está em forma triangular superior, o que facilita o cálculo do determinante. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, temos:
det = 1 times 1 times (-1) times (-1) = 1 times 1 times 1 = 1
Lembrando que trocamos duas linhas no início, o que multiplicou o determinante por -1. Portanto, devemos considerar esse fator:
det = 1 times (-1) = -1

Resposta

O determinante da matriz é -1.

Exercícios relacionados