(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando operações elementares nas linhas. A matéria que estamos vendo é Cálculo de Determinantes, e para isso, precisamos entender como simplificar a matriz para facilitar o cálculo do determinante final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que operações elementares nas linhas podem facilitar bastante nosso trabalho. Essas operações são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha de outra linha.
Lembrando que trocar linhas muda o sinal do determinante, multiplicar uma linha por um número multiplica o determinante por esse número, e adicionar múltiplos de uma linha não muda o determinante.
Passo 3
Vamos começar aplicando essas operações para simplificar a matriz. Olhando para a primeira coluna, vemos que ela tem três 1’s e um 0. Seria bom ter um 1 no topo para facilitar. Mas já temos um 0 na primeira posição, então vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para trazer um 1 para a posição (1,1).
Após a troca, a matriz fica assim:
Lembre-se que trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Passo 4
Agora, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira e da quarta linha.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
Essas operações não alteram o determinante.
Passo 5
Agora, olhamos para a segunda coluna. Já temos um 1 na posição (2,2). Vamos usar essa linha para zerar os elementos abaixo dela na segunda coluna.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2:
Essas subtrações também não mudam o determinante.
Passo 6
Agora, nossa matriz está em forma triangular superior, o que facilita o cálculo do determinante. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, temos:
Lembrando que trocamos duas linhas no início, o que multiplicou o determinante por -1. Portanto, devemos considerar esse fator: