Seja f: um homomorfismo.
Assinale a alternativa correta:
A. Se fé sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.B. Se f é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.C. Se f é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.D. Se fé injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.E. Se fé bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um homomorfismo de grupos . Precisamos analisar cada alternativa para ver qual delas está correta. Para isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de teoria de grupos, como homomorfismos, injetividade, sobrejetividade, isomorfismos, monomorfismos, epimorfismos e automorfismos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
Homomorfismo: É uma função entre dois grupos que preserva a estrutura dos grupos, ou seja, para todos em .
Injetiva (ou injetora): Uma função é injetiva se mapeia elementos diferentes de para elementos diferentes de .
Sobrejetiva (ou sobrejetora): Uma função é sobrejetiva se todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de .
Bijetiva: É uma função que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Isomorfismo: Um homomorfismo bijetivo. Se existe um isomorfismo entre e , os grupos são chamados de isomorfos.
Monomorfismo: Um homomorfismo injetivo.
Epimorfismo: Um homomorfismo sobrejetivo.
Automorfismo: Um isomorfismo de um grupo para ele mesmo.
Passo 3
Vamos analisar cada alternativa:
Alternativa A: Se é sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.
Análise: Monomorfismo significa que é injetiva, não sobrejetiva. Se é sobrejetora, é um epimorfismo.
Conclusão: Incorreta.
Alternativa B: Se é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.
Análise: Isso está correto. Por definição, um isomorfismo é exatamente um homomorfismo bijetivo.
Conclusão: Correta.
Alternativa C: Se é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.
Análise: Não existe o termo “isomorfismo duplo” na teoria de grupos. Um isomorfismo requer que a função seja tanto injetiva quanto sobrejetiva.
Conclusão: Incorreta.
Alternativa D: Se é injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.
Análise: Automorfismo requer que seja bijetivo e que . Apenas a injetividade não garante isso.
Conclusão: Incorreta.
Alternativa E: Se é bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
Análise: Um epimorfismo é um homomorfismo sobrejetivo, não necessariamente bijetivo.
Conclusão: Incorreta.
Resposta
A alternativa correta é a B. Se é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.