Seja f: um homomorfismo.
Assinale a alternativa correta:
A. Se fé sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.B. Se f é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.C. Se f é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.D. Se fé injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.E. Se fé bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um homomorfismo de grupos . Precisamos analisar cada alternativa para ver qual delas está correta. Para isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de teoria de grupos, como homomorfismos, injetividade, sobrejetividade, isomorfismos, monomorfismos, epimorfismos e automorfismos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
  • Homomorfismo: É uma função entre dois grupos que preserva a estrutura dos grupos, ou seja, para todos em .
  • Injetiva (ou injetora): Uma função é injetiva se mapeia elementos diferentes de para elementos diferentes de .
  • Sobrejetiva (ou sobrejetora): Uma função é sobrejetiva se todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de .
  • Bijetiva: É uma função que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
  • Isomorfismo: Um homomorfismo bijetivo. Se existe um isomorfismo entre e , os grupos são chamados de isomorfos.
  • Monomorfismo: Um homomorfismo injetivo.
  • Epimorfismo: Um homomorfismo sobrejetivo.
  • Automorfismo: Um isomorfismo de um grupo para ele mesmo.

Passo 3

Vamos analisar cada alternativa:
Alternativa A: Se é sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.
  • Análise: Monomorfismo significa que é injetiva, não sobrejetiva. Se é sobrejetora, é um epimorfismo.
  • Conclusão: Incorreta.
Alternativa B: Se é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.
  • Análise: Isso está correto. Por definição, um isomorfismo é exatamente um homomorfismo bijetivo.
  • Conclusão: Correta.
Alternativa C: Se é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.
  • Análise: Não existe o termo “isomorfismo duplo” na teoria de grupos. Um isomorfismo requer que a função seja tanto injetiva quanto sobrejetiva.
  • Conclusão: Incorreta.
Alternativa D: Se é injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.
  • Análise: Automorfismo requer que seja bijetivo e que . Apenas a injetividade não garante isso.
  • Conclusão: Incorreta.
Alternativa E: Se é bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
  • Análise: Um epimorfismo é um homomorfismo sobrejetivo, não necessariamente bijetivo.
  • Conclusão: Incorreta.

Resposta

A alternativa correta é a B. Se é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.

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