Seja f:
um homomorfismo.
Assinale a alternativa correta:
A. Se fé sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.B. Se f é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.C. Se f é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.D. Se fé injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.E. Se fé bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
Assinale a alternativa correta:
A. Se fé sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.B. Se f é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.C. Se f é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.D. Se fé injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.E. Se fé bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um homomorfismo de grupos
. Precisamos analisar cada alternativa para ver qual delas está correta. Para isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de teoria de grupos, como homomorfismos, injetividade, sobrejetividade, isomorfismos, monomorfismos, epimorfismos e automorfismos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
- Homomorfismo: É uma função entre dois grupos que preserva a estrutura dos grupos, ou seja,
para todos em . - Injetiva (ou injetora): Uma função é injetiva se mapeia elementos diferentes de
para elementos diferentes de . - Sobrejetiva (ou sobrejetora): Uma função é sobrejetiva se todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de . - Bijetiva: É uma função que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
- Isomorfismo: Um homomorfismo bijetivo. Se existe um isomorfismo entre
e , os grupos são chamados de isomorfos. - Monomorfismo: Um homomorfismo injetivo.
- Epimorfismo: Um homomorfismo sobrejetivo.
- Automorfismo: Um isomorfismo de um grupo para ele mesmo.
Passo 3
Vamos analisar cada alternativa:
Alternativa A: Se
é sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.
- Análise: Monomorfismo significa que
é injetiva, não sobrejetiva. Se é sobrejetora, é um epimorfismo. - Conclusão: Incorreta.
Alternativa B: Se
é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.
- Análise: Isso está correto. Por definição, um isomorfismo é exatamente um homomorfismo bijetivo.
- Conclusão: Correta.
Alternativa C: Se
é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.
- Análise: Não existe o termo “isomorfismo duplo” na teoria de grupos. Um isomorfismo requer que a função seja tanto injetiva quanto sobrejetiva.
- Conclusão: Incorreta.
Alternativa D: Se
é injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.
- Análise: Automorfismo requer que
seja bijetivo e que . Apenas a injetividade não garante isso. - Conclusão: Incorreta.
Alternativa E: Se
é bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
- Análise: Um epimorfismo é um homomorfismo sobrejetivo, não necessariamente bijetivo.
- Conclusão: Incorreta.
Resposta
A alternativa correta é a B. Se
é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.