(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
23.8[lllla & b & c & d a & a & b & c a & a & a & b a & a & a & a]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz dada usando operações elementares nas linhas ou colunas. A matéria envolvida aqui é cálculo de determinantes através de operações elementares, que são manipulações que simplificam a matriz sem mudar o valor do determinante (ou alterando de forma controlada). Para resolver isso, vamos precisar usar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
a & b & c & d a & a & b & c a & a & a & b a & a & a & a
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para uma forma triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita o cálculo do determinante, pois neste caso, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar fazendo a primeira coluna ter zeros abaixo do primeiro elemento. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas.
Operação na segunda linha: L2 = a & a & b & c - a & b & c & d = 0 & a - b & b - c & c - d
L3 = a & a & a & b - a & b & c & d = 0 & a - b & a - c & b - d
Operação na terceira linha: L4 = a & a & a & a - a & b & c & d = 0 & a - b & a - c & a - d
a & b & c & d 0 & a - b & b - c & c - d 0 & a - b & a - c & b - d 0 & a - b & a - c & a - d
Operação na quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que haja zeros abaixo do elemento L3 = 0 & a - b & a - c & b - d - 0 & a - b & b - c & c - d = 0 & 0 & (a - c) - (b - c) & (b - d) - (c - d) na segunda coluna. Para isso, podemos subtrair a segunda linha da terceira e quarta linhas.
Operação na terceira linha: L3 = 0 & 0 & a - b & b - c
L4 = 0 & a - b & a - c & a - d - 0 & a - b & b - c & c - d = 0 & 0 & (a - c) - (b - c) & (a - d) - (c - d)
Simplificando:
L4 = 0 & 0 & a - b & a - c
Operação na quarta linha: a & b & c & d 0 & a - b & b - c & c - d 0 & 0 & a - b & b - c 0 & 0 & a - b & a - c
Simplificando:
A matriz agora fica:

Passo 5

Continuando, vamos focar na terceira coluna. Queremos zero abaixo de L4 = 0 & 0 & a - b & a - c - 0 & 0 & a - b & b - c = 0 & 0 & 0 & (a - c) - (b - c) na terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da quarta linha.
Operação na quarta linha: L4 = 0 & 0 & 0 & a - b
a & b & c & d 0 & a - b & b - c & c - d 0 & 0 & a - b & b - c 0 & 0 & 0 & a - b
Simplificando:
Agora, a matriz está em forma triangular superior:

Passo 6

Agora que a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, o determinante D = a times (a - b) times (a - b) times (a - b) = a times (a - b)^3 é:

Resposta

O determinante da matriz é .

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