(Cálculo de determinantes por operações elementares) Calcular os determinantes das matrizes abaixo indicadas através de operações elementares sobre as linhas ou colunas das matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz dada usando operações elementares nas linhas ou colunas. A matéria envolvida aqui é cálculo de determinantes através de operações elementares, que são manipulações que simplificam a matriz sem mudar o valor do determinante (ou alterando de forma controlada). Para resolver isso, vamos precisar usar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para uma forma triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso facilita o cálculo do determinante, pois neste caso, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 3
Vamos começar fazendo a primeira coluna ter zeros abaixo do primeiro elemento. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas.
Operação na segunda linha:
Operação na terceira linha:
Operação na quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que haja zeros abaixo do elemento na segunda coluna. Para isso, podemos subtrair a segunda linha da terceira e quarta linhas.
Operação na terceira linha:
Simplificando:
Operação na quarta linha:
Simplificando:
A matriz agora fica:
Passo 5
Continuando, vamos focar na terceira coluna. Queremos zero abaixo de na terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da quarta linha.
Operação na quarta linha:
Simplificando:
Agora, a matriz está em forma triangular superior:
Passo 6
Agora que a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.