Determine as regiões do plano: (x, y) in R^2 / x=y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente determine as regiões do plano definidas pela equação . Isso significa que precisamos identificar quais partes do plano estão acima, abaixo ou exatamente na linha onde é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre representação de retas no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a equação . Essa é a equação de uma reta no plano cartesiano. Para entender melhor, podemos pensar em alguns pontos que satisfazem essa equação:
  • Quando , temos , então o ponto está na reta.
  • Quando , , então o ponto também está na reta.
  • Da mesma forma, , , e assim por diante, estão todos na reta .
Isso nos mostra que a reta passa pelo origem e tem uma inclinação de 45 graus, dividindo o plano em duas regiões.

Passo 3

Agora, vamos identificar as regiões que ficam acima e abaixo dessa reta. Para isso, podemos testar pontos que não estão na reta para ver em qual região eles caem.
  • Região acima da reta : Escolha um ponto como . Aqui, porque . Portanto, qualquer ponto onde está acima da reta.
  • Região abaixo da reta : Escolha um ponto como . Aqui, porque . Assim, qualquer ponto onde está abaixo da reta.

Passo 4

Então, resumindo:
  • A reta divide o plano em duas regiões.
  • Acima da reta: Todos os pontos onde .
  • Abaixo da reta: Todos os pontos onde .

Resposta

As regiões do plano determinadas pela equação são:
  • Região acima da reta : Pontos onde .
  • Região abaixo da reta : Pontos onde .

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