Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta: O vetor w=(1,-1,2) pertence ao subespaço gerado por u=(1,2,3) e v=(3,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se o vetor está dentro do subespaço gerado pelos vetores e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinação linear e subespaços vetoriais. Para resolver, vamos ver se dá para escrever como uma combinação linear de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma combinação linear. Básicamente, queremos encontrar números (escalares) w = a cdot u + b cdot v e (1, -1, 2) = a cdot (1, 2, 3) + b cdot (3, 2, 1) tais que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
1 = a cdot 1 + b cdot 3 -1 = a cdot 2 + b cdot 2 2 = a cdot 3 + b cdot 1
Simplificando:
1 = a + 3b -1 = 2a + 2b 2 = 3a + b

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar 1 = a + 3b implies a = 1 - 3b e -1 = 2(1 - 3b) + 2b -1 = 2 - 6b + 2b -1 = 2 - 4b -3 = -4b b = 34 . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar eliminação aqui.
Primeiro, da primeira equação:
a = 1 - 3 cdot 34 = 1 - 94 = -54
Vamos substituir 2 = 3 cdot (-54) + 34 2 = -154 + 34 2 = -124 2 = -3 na segunda equação:
2 = 2a + 6b
Agora, substituímos 2 - (-1) = (2a + 6b) - (2a + 2b) 3 = 4b b = 34 de volta na expressão para 2 = 3 cdot (-54) + 34 2 = -154 + 34 2 = -124 = -3 :
Vamos verificar na terceira equação:
Isso não faz sentido, então houve um erro.
Vamos tentar resolver o sistema de outra maneira.
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação:
E então,
Verificando na terceira equação:
Como não bate, isso significa que não existe solução para esse sistema.

Resposta

Falso (F). O vetor não pertence ao subespaço gerado por e porque não é possível expressá-lo como uma combina��ão linear desses vetores.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas lineares.
h) lx-z=0 3 x+y=1 -x+y+z=4
Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre R ).
O conjunto dos vetores de R^n que têm k coordenadas iguais.
Se A e B são matrizes de ordem 2 times 3, qual das seguintes operações não pode ser efetuada?
(A+B) B^T
Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
f) lx+y=4 y-z=0