Assinale Verdadeiro ou Falso:
(b) Dada a transformação linear T: V longrightarrow W, para todo w in W fixado, o conjunto G= v in V: T(v)=w é um subespao de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação fala sobre uma transformação linear T que vai de um espaço vetorial V para outro W. Ela diz que, para todo vetor fixo w em W, o conjunto G = v in V : T(v) = w é um subespaço de V. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que caracteriza um subespaço e verificar se o conjunto G atende a essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: V W é linear se, para quaisquer vetores u, v in V e qualquer escalar c, as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. T(c cdot v) = c cdot T(v)

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que caracteriza um subespaço. Um conjunto S em um espaço vetorial V é um subespaço se:
  1. O vetor zero de V está em S.
  2. Se u e v estão em S, então u + v também está em S.
  3. Se v está em S e c é um escalar, então c cdot v está em S.

Passo 4

Vamos analisar o conjunto G = v in V : T(v) = w, onde w �� um vetor fixo em W. Para verificar se G é um subespaço de V, precisamos ver se ele satisfaz as três condições que definem um subespaço.

Passo 5

Primeiro, verificamos se o vetor zero de V está em G. Ou seja, precisamos que T(0V) = w. Mas sabemos que, para qualquer transformação linear, T(0V) = 0W. Portanto, T(0V) = 0W = w? Isso só é possível se w for o vetor zero em W. Se w não for zero, o conjunto G não contém o vetor zero e, portanto, não seria um subespaço.

Passo 6

Além disso, mesmo que w = 0W, precisamos verificar se G é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Se w = 0W, então G seria o núcleo de T, que é um subespaço. Mas a afirmação original fala para todo w in W fixado, não necessariamente zero.

Passo 7

Portanto, a afirmação de que para todo w in W fixado o conjunto G = v in V : T(v) = w é um subespaço de V não é verdadeira, a menos que w = 0W. Como a afirmação não restringe w a ser zero, ela pode ser falsa para outros vetores diferentes de zero.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados