Assinale Verdadeiro ou Falso:
(b) Dada a transformação linear
, para todo
fixado, o conjunto
é um subespao de
.
(b) Dada a transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação fala sobre uma transformação linear
que vai de um espaço vetorial
para outro
. Ela diz que, para todo vetor fixo
em
, o conjunto
é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que caracteriza um subespaço e verificar se o conjunto
atende a essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que caracteriza um subespaço. Um conjunto
em um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então está em .
Passo 4
Vamos analisar o conjunto
, onde
�� um vetor fixo em
. Para verificar se
é um subespaço de
, precisamos ver se ele satisfaz as três condições que definem um subespaço.
Passo 5
Primeiro, verificamos se o vetor zero de
está em
. Ou seja, precisamos que
. Mas sabemos que, para qualquer transformação linear,
. Portanto,
? Isso só é possível se
for o vetor zero em
. Se
não for zero, o conjunto
não contém o vetor zero e, portanto, não seria um subespaço.
Passo 6
Além disso, mesmo que
, precisamos verificar se
é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Se
, então
seria o núcleo de
, que é um subespaço. Mas a afirmação original fala para todo
fixado, não necessariamente zero.
Passo 7
Portanto, a afirmação de que para todo
fixado o conjunto
é um subespaço de
não é verdadeira, a menos que
. Como a afirmação não restringe
a ser zero, ela pode ser falsa para outros vetores diferentes de zero.
Resposta
Falso.