Escreva o vetor u=(1,1,1), como combinação linear dos vetores a=2 imath+3 jmath,
b=jmath+k e c=jmath+2 k. Resp. u=12 a-2 b+32 c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é escrever o vetor u = (1,1,1) como uma combinação linear dos vetores a = 2imath + 3jmath, b = jmath + k e c = jmath + 2k. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde combinamos vetores usando escalares para chegar a um resultado específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar números (escalas) x, y e z tais que:
u = xa + yb + zc
Substituindo os vetores dados, temos:
(1,1,1) = x(2,3,0) + y(0,1,1) + z(0,1,2)

Passo 3

Vamos quebrar isso por componentes. Ou seja, olhar separadamente para as direções imath, jmath e k.
Para a direção imath:
2x = 1 Rightarrow x = 12
Isso significa que precisamos de metade do vetor a para alcançar a parte em imath do nosso vetor u.

Passo 4

Agora, para a direção jmath e k, temos:
3x + y + z = 1 (1) y + 2z = 1 (2)
Já sabemos que x = 12, então substituindo na equação (1):
3(12) + y + z = 1 32 + y + z = 1 y + z = 1 - 32 y + z = -12 (3)
Agora, temos o sistema:
y + 2z = 1 (2) y + z = -12 (3)
Vamos subtrair a equação (3) da equação (2):
(y + 2z) - (y + z) = 1 - (-12) z = 32
Com z = 32, substituímos na equação (3):
y + 32 = -12 y = -12 - 32 y = -2

Resposta

Portanto, o vetor u pode ser escrito como:
u = 12a - 2b + 32c

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