Determine se os pontos abaixo podem ser vértices de um paralelogramo.
b) A=(2,4,1), B=(1,2,0), C=(2,3,-2), D=(0,-1,-4). Resp. não

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Geometria Analítica onde precisamos descobrir se quatro pontos no espaço podem ser os vértices de um paralelogramo. Pra isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e propriedades dos paralelogramos, como o fato de que os lados opostos são iguais. Vamos analisar as coordenadas dos pontos A, B, C e D para ver se eles satisfazem essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os vetores que representam os lados opostos precisam ser iguais. Ou seja, o vetor AB deve ser igual ao vetor DC, e o vetor AD deve ser igual ao vetor BC. Vamos calcular esses vetores usando as coordenadas dos pontos.

Passo 3

Calculando o vetor AB:
AB = B - A = (1-2, 2-4, 0-1) = (-1, -2, -1)
Calculando o vetor DC:
DC = C - D = (2-0, 3-(-1), -2-(-4)) = (2, 4, 2)
Agora, vamos comparar AB = (-1, -2, -1) e DC = (2, 4, 2) e :
Claramente, , já que cada componente é diferente.

Passo 4

Como os vetores opostos e não são iguais, isso já indica que os lados opostos não são congruentes. Portanto, os pontos A, B, C e D não satisfazem a condição necessária para serem vértices de um paralelogramo.

Resposta

Não, os pontos A, B, C e D não podem ser vértices de um paralelogramo.

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