Sejam os conjuntos de vetores abaixo. Demonstre se os mesmos são espaços vetoriais. caso(s) em que algum(ns) conjunto(s) for(em) espaço(s) vetorial(is), encontre uma base para este(s) espaço(s) e determine a dimensão do(s) mesmo(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de matrizes lla & 0 b & 0 é um espaço vetorial. Além disso, se for um espaço vetorial, temos que encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfazem certas propriedades, como ter um vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalares. No nosso caso, o “vetor” são matrizes 2x2.
Passo 3
Para verificar se é um espaço vetorial, precisamos checar três coisas:
Contém o vetor zero: A matriz com todos os elementos zero pertence a ?
Fechado sob adição: Se pegar duas matrizes em e somar, o resultado ainda está em ?
Fechado sob multiplicação por escalares: Se pegar uma matriz em e multiplicar por um número real, o resultado ainda está em ?
Passo 4
1. Verificando o vetor zero:
A matriz zero em [ll 0 & 0 0 & 0 ] é:
Essa matriz está em porque e . Então, contém o vetor zero.
Passo 5
2. Verificando fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em [ll a & 0 b & 0 ] e [ll c & 0 d & 0 ] :
[ll a + c & 0 b + d & 0 ]
Somando elas:
Como e são reais, a matriz resultante também está em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 6
3. Verificando fechamento sob multiplicação por escalares:
Vamos pegar uma matriz qualquer em k cdot [ll a & 0 b & 0 ] = [ll k a & 0 k b & 0 ] e um número real :
Como e são reais, a matriz resultante está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Como satisfaz todas as três propriedades (contém o zero, fechado sob adição e multiplicação por escalares), podemos concluir que é um espaço vetorial.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma base para [ll a & 0 b & 0 ] = a cdot [ll 1 & 0 0 & 0 ] + b cdot [ll 0 & 0 1 & 0 ] . Uma base é um conjunto de vetores (no caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Observando as matrizes em ll1 & 0 0 & 0:
ll0 & 0 1 & 0
As matrizes e são lineares independentes e qualquer matriz em pode ser escrita como combinação linear delas. Portanto, essas duas matrizes formam uma base para .
Passo 9
Finalmente, a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base para tem duas matrizes, a dimensão de é 2.
Resposta
O conjunto [ll 1 & 0 0 & 0 ] e [ll 0 & 0 1 & 0 ], é um espaço vetorial. Uma base para é formada pelas matrizes