Dados dois vetores u=(2,-3,-6) e v=3 imath-4 jmath-4 k, determine as coordenadas do vetor proju v.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as coordenadas do vetor projeção de v sobre u. Esse problema está relacionado ao Cálculo Vetorial, mais especificamente ao conceito de projeção de vetores. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto escalar entre dois vetores e a norma (comprimento) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
  • u = (2, -3, -6)
  • v = (3, -4, -4)
Observamos que v está representado em termos das componentes unitárias imath, jmath e k. Para facilitar os cálculos, vamos reescrever v nas suas componentes:
v = (3, -4, -4)

Passo 3

A projeção de v sobre u, denotada por proju v, é o vetor que resulta do “projetar” v na direção de u. A fórmula para a projeção de um vetor b sobre um vetor a é:
proja b = ( a cdot b||a||^2 ) a
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar entre os vetores a e b.
  • ||a|| é a norma de a, ou seja, seu comprimento.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Aplicando os valores:
u cdot v = (2)(3) + (-3)(-4) + (-6)(-4) = 6 + 12 + 24 = 42

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de u, que é dada por:
||u|| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Aplicando os valores:
||u|| = raiz2^2 + (-3)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7
Portanto, ||u||^2 = 7^2 = 49.

Passo 6

Agora que temos u cdot v = 42 e ||u||^2 = 49, podemos aplicar a fórmula da projeção:
proju v = ( 4249 ) u = ( 67 ) u

Passo 7

Vamos multiplicar cada componente de u por 67:
proju v = ( 67 times 2, 67 times (-3), 67 times (-6) ) = ( 127, -187, -367 )

Resposta

As coordenadas do vetor proju v são ( dfrac127, -dfrac187, -dfrac367 ).

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