Assinale verdadeiro ou falso:
( . )
integral xx^2-5 x+6 d x=ln |x-2|+ln |x-3|+C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela nos apresenta uma integral e pede para dizer se a igualdade dada é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo, especificamente integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Vamos calcular a integral x^2 -5 x +6 = (x-2)(x-3) . Primeiro, fatoramos o denominador para facilitar a integração:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração x(x-2)(x-3) = Ax-2 + Bx-3 usando frações parciais. Queremos achar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x = A(x-3) + B(x-2) :
x = A x - 3A + B x - 2B
Expandindo:
x = (A + B)x - (3A + 2B)
Simplificando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para 1 = A + B :
0 = -3A -2B
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: 0 = -3A -2(1 - A) = -3A -2 + 2A = -A -2
Substituindo na segunda equação:
-A -2 = 0 implies A = -2
Então:
E

Passo 7

Com integral ( -2x-2 + 3x-3 ) dx = -2 ln|x-2| + 3 ln|x-3| + C e , podemos escrever a integral como:

Resposta

A afirmação dada é falsa. A integral correta é .

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