Assinale verdadeiro ou falso:
(
l integral-1^0 x^2 raiz1+x^3 d x=29 integral x sec ^2(x) d x=x tan (x)+ln |cos (x)|+C Dica: integral sec ^2(x) d x=tan (x)+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas integrais e você precisa dizer se cada uma é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas e indefinidas, além de técnicas como substituição e integração por partes. Vamos analisar cada uma passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral-1^0 x^2 raiz1+x^3 , dx = 29
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Observamos que o termo u = 1 + x^3 dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3 está dentro da raiz, então podemos deixar isso como nossa substituição.
Substituição:
u = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0
Mudando os limites de integração:
Quando u = 1 + 0^3 = 1 ,
integral-1^0 x^2 raiz1+x^3 , dx = integral0^1 raizu cdot du3 = 13 integral0^1 u^1/2 du
Quando 13 cdot [ u^3/232 ]0^1 = 13 cdot [ 23 u^3/2 ]0^1 = 29 [ u^3/2 ]0^1 = 29 (1 - 0) = 29 ,
Agora, substituímos na integral:
Integrando:
Então, a primeira afirmação está verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
integral x sec^2(x) , dx = x tan(x) + ln |cos(x)| + C
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolha de u = x Rightarrow du = dx dv = sec^2(x) dx Rightarrow v = tan(x) e integral x sec^2(x) , dx = x tan(x) - integral tan(x) , dx :
integral tan(x) , dx = -ln |cos(x)| + C
Aplicando a fórmula:
integral x sec^2(x) , dx = x tan(x) - (-ln |cos(x)|) + C = x tan(x) + ln |cos(x)| + C
Sabemos que:
Então:
Parece que a expressão está correta na primeira análise, mas vamos verificar o sinal do termo logarítmico. Na verdade, a integral de é , então o sinal está positivo após a substituição, confirmando a igualdade.

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras.

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