Assinale verdadeiro ou falso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas integrais e você precisa dizer se cada uma é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de integrais definidas e indefinidas, além de técnicas como substituição e integração por partes. Vamos analisar cada uma passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Observamos que o termo está dentro da raiz, então podemos deixar isso como nossa substituição.
Substituição:
Mudando os limites de integração:
Quando ,
Quando ,
Agora, substituímos na integral:
Integrando:
Então, a primeira afirmação está verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolha de e :
Aplicando a fórmula:
Sabemos que:
Então:
Parece que a expressão está correta na primeira análise, mas vamos verificar o sinal do termo logarítmico. Na verdade, a integral de é , então o sinal está positivo após a substituição, confirmando a igualdade.

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras.

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Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
Dada a função
determine a derivada de em relação a .
Assinale verdadeiro ou falso:
( . )
Considere a função
Calcule