Considere a função
cc x+1 & -pi <= x <= 0 cos (x) & 0
Calcule integral-pi^pi f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função de até . A função é definida de forma diferente em dois intervalos: de a , ela é , e de a , ela é . Vamos utilizar o conceito de integrais definidas para funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com a definição da função:
integral-pi^pi f(x) , dx = integral-pi^0 (x + 1) , dx + integral0^pi cos(x) , dx

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral (x + 1) , dx = 12x^2 + x .
A antiderivada de [ 12x^2 + x ]-pi^0 = ( 12(0)^2 + 0 ) - ( 12(-pi)^2 + (-pi) ) = 0 - ( pi^22 - pi ) = pi - pi^22 é e a de é . Então:
Agora, avaliamos de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral cos(x) , dx = sin(x) .
A antiderivada de [ sin(x) ]0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 é . Então:
Avaliando de a :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
pi - pi^22 + 0 = pi - pi^22

Resposta

O valor da integral é .

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