Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a seguinte integral:
Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções que não têm antiderivadas simples e, possivelmente, usar métodos de aproximação para chegar a uma resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
Aqui,
é a função seno, e o denominador é um polinômio de quarto grau. Essa combinação torna a integral bastante complicada para resolver de forma analítica, ou seja, usando as técnicas padrão de integração que conhecemos, como substituição ou integração por partes.
Passo 3
Quando encontramos uma integral que não pode ser resolvida com métodos de integração padrão, pensamos em métodos numéricos para obter uma aproximação do valor da integral. Um dos métodos mais comuns é a Regra dos Trapézios ou a Regra de Simpson. Esses métodos dividem a área sob a curva em pequenas partes, calculam a área de cada parte e somam tudo para obter uma aproximação do total.
Passo 4
Vamos utilizar a Regra dos Trapézios para aproximar o valor da integral. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapezoides e somando suas áreas.
A fórmula da Regra dos Trapézios para uma integral de
a
dividida em
subintervalos é:
onde
.
Passo 5
Vamos aplicar essa regra à nossa integral. Suponhamos que dividimos o intervalo de
a
em
subintervalos (
) para facilitar os cálculos.
Calculando
:
Agora, encontramos os pontos
:
Passo 6
Calculamos os valores de
em cada ponto:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da Regra dos Trapézios:
Substituindo os valores:
Resposta
Aproximadamente, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Dada a função
determine a derivada de
em relação a
.
Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Assinale verdadeiro ou falso:
)
Assinale verdadeiro ou falso:
( . )
( . )