Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
integral^pi sen(x)x^4+x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a seguinte integral:
integral^pi sen(x)x^4+x^2+1 , dx
Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções que não têm antiderivadas simples e, possivelmente, usar métodos de aproximação para chegar a uma resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
sen(x)x^4+x^2+1
Aqui, é a função seno, e o denominador é um polinômio de quarto grau. Essa combinação torna a integral bastante complicada para resolver de forma analítica, ou seja, usando as técnicas padrão de integração que conhecemos, como substituição ou integração por partes.

Passo 3

Quando encontramos uma integral que não pode ser resolvida com métodos de integração padrão, pensamos em métodos numéricos para obter uma aproximação do valor da integral. Um dos métodos mais comuns é a Regra dos Trapézios ou a Regra de Simpson. Esses métodos dividem a área sob a curva em pequenas partes, calculam a área de cada parte e somam tudo para obter uma aproximação do total.

Passo 4

Vamos utilizar a Regra dos Trapézios para aproximar o valor da integral. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapezoides e somando suas áreas.
A fórmula da Regra dos Trapézios para uma integral de integrala^b f(x) , dx approx De a dividida em subintervalos é:
onde .

Passo 5

Vamos aplicar essa regra à nossa integral. Suponhamos que dividimos o intervalo de De a x0 = 0, x1 = pi4, x2 = pi2, x3 = 3pi4, x4 = pi em subintervalos ( ) para facilitar os cálculos.
Calculando :
Agora, encontramos os pontos :

Passo 6

Calculamos os valores de f(x0) = f(0) = 00 + 0 + 1 = 0 em cada ponto:
f(x1) = sen(pi4)(pi4)^4 + (pi4)^2 + 1 approx 0.70710.0968 + 0.6169 + 1 approx 0.7071 / 1.7137 approx 0.4129
f(x2) = sen(pi2)(pi2)^4 + (pi2)^2 + 1 approx 12.4674 + 2.4674 + 1 approx 1 / 5.9348 approx 0.1683
f(x3) = sen(3pi4)(3pi4)^4 + (3pi4)^2 + 1 approx 0.70715.0671 + 5.9348 + 1 approx 0.7071 / 11.0019 approx 0.0643
f(x4) = f(pi) = 0pi^4 + pi^2 + 1 = 0

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da Regra dos Trapézios:
integral0^pi sen(x)x^4+x^2+1 , dx approx pi/42 [ f(0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(pi) ]
Substituindo os valores:
approx pi/42 [ 0 + 2(0.4129 + 0.1683 + 0.0643) + 0 ] = pi8 [ 2(0.6455) ] = pi8 times 1.291 approx 0.506

Resposta

Aproximadamente, o valor da integral é .

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