Assinale V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta.
a) ( ) As seguintes matrizes estão na forma escada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se as matrizes A, B e C estão na forma escada (também conhecida como forma escalonada ou row echelon form). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma escada e quais são os critérios para uma matriz estar nessa forma. Então, vamos passar por cada matriz e verificar se ela atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a forma escada. Uma matriz está na forma escada se ela satisfaz os seguintes requisitos:
Todas as linhas nulas estão na parte inferior da matriz. Ou seja, se houver alguma linha com todos os elementos iguais a zero, ela deve estar nas últimas linhas da matriz.
O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de “pivô”) está à direita do pivô da linha acima. Isso cria uma espécie de “escada” com os pivôs descendo para a direita à medida que descemos nas linhas.
Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros. Isso significa que, para cada pivô, todos os elementos diretamente abaixo dele na mesma coluna devem ser zero.
Com isso em mente, vamos analisar cada matriz.
Passo 3
Matriz A:
Análise: A matriz A tem apenas uma linha. Não há linhas nulas, e como só tem uma linha, não há outras linhas para verificar a posição do pivô.
Pivô: O primeiro elemento não nulo é 1, que está na terceira coluna.
Conclusão: Por ter apenas uma linha com um pivô definido, a matriz A está na forma escada.
Passo 4
Matriz B:
Análise: A matriz B tem duas linhas. A primeira linha tem um elemento não nulo (1) na segunda coluna. A segunda linha é uma linha nula.
Posição das linhas nulas: A linha nula está na parte inferior, o que está correto.
Pivô: O pivô da primeira linha está na segunda coluna.
Conclusão: A matriz B atende a todos os critérios da forma escada.
Passo 5
Matriz C:
Análise: A matriz C tem quatro linhas. A terceira linha é nula e está na terceira posição, mas a quarta linha também é nula?
Pivôs:
Primeira linha: o pivô está na primeira coluna.
Segunda linha: o primeiro elemento não nulo é 12 na quarta coluna.
Terceira linha: é nula, deveria estar abaixo das não nulas.
Quarta linha: tem um pivô na sexta coluna, mas aparece depois de uma linha nula, o que viola a regra.
Conclusão: A matriz C não está na forma escada porque tem uma linha nula (terceira linha) acima de uma linha não nula (quarta linha), o que quebra a regra de que todas as linhas nulas devem estar na parte inferior.
Resposta
a) V, V, F.
Matriz A: Verdadeira, está na forma escada.
Matriz B: Verdadeira, está na forma escada.
Matriz C: Falsa, não está na forma escada porque uma linha nula está acima de uma linha não nula.