Considerando o sistema em x, y, z
ccc 3 x+9 y+(k^2-1) z & = & k+1 x+3 y+(1-k^2) z & = & -k-1 3 x+11 y+(1-k^2) z & = & -k-1
tenha
Para quais valores de k, esse sistema tem
nenhuma solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro k. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de k esse sistema não tem nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e eliminação de Gauss. Vamos precisar manipular as equações para ver se conseguimos encontrar uma inconsistência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
3x + 9y + (k^2 - 1)z = k + 1 (Equação 1) x + 3y + (1 - k^2)z = -k - 1 (Equação 2) 3x + 11y + (1 - k^2)z = -k - 1 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Agora, vamos tentar eliminar uma das incógnitas para simplificar o sistema. Vamos eliminar o x entre a Equação 1 e a Equação 2.
Para isso, multiplicamos a Equação 2 por 3 e subtraímos da Equação 1:
3x + 9y + (k^2 - 1)z = k + 1 (Equação 1) 3(x + 3y + (1 - k^2)z) = 3(-k -1) Rightarrow 3x + 9y + 3(1 - k^2)z = -3k -3 (Equação 2 muçãçã
Subtraindo a nova Equação 2 da Equação 1:
(3x + 9y + (k^2 - 1)z) - (3x + 9y + 3(1 - k^2)z) = (k + 1) - (-3k -3) Rightarrow 0x + 0y + [k^2 -1 - 3(1 - k^2)]z = k +1 +3k +3 Rightarrow [k^2 -1 -3 +3k^2]z = 4k +4 Rightarrow (4k^2 -4)z = 4k +4
Simplificando:
4(k^2 -1)z = 4(k +1) Rightarrow (k^2 -1)z = k +1

Passo 4

Vamos analisar a Equação obtida:
(k^2 -1)z = k +1
Podemos reescrever k^2 -1 como (k -1)(k +1). Então:
(k -1)(k +1)z = k +1
Se k +1 neq 0, ou seja, k neq -1, podemos dividir ambos os lados por (k +1):
(k -1)z = 1 Rightarrow z = 1k -1

Passo 5

Agora que encontramos z em termos de k, vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar y.
A Equação 2 é:
x + 3y + (1 - k^2)z = -k -1
Substituindo z = 1k -1:
x + 3y + (1 - k^2)(1k -1) = -k -1
Simplificando (1 - k^2):
1 - k^2 = -(k^2 -1) = -(k -1)(k +1)
Então:
x + 3y - (k -1)(k +1)(1k -1) = -k -1 Rightarrow x + 3y - (k +1) = -k -1 Rightarrow x + 3y = -k -1 + k +1 Rightarrow x + 3y = 0 (Equação 4) çã

Passo 6

Vamos agora usar a Equação 4 e substituir na Equação 3 para encontrar uma relação que possa nos dizer quando o sistema é inconsistente.
A Equação 3 é:
3x + 11y + (1 - k^2)z = -k -1
Sabemos que x = -3y (da Equação 4). Substituindo:
3(-3y) + 11y + (1 - k^2)(1k -1) = -k -1 Rightarrow -9y + 11y + 1 - k^2k -1 = -k -1 Rightarrow 2y + 1 - k^2k -1 = -k -1
Simplificando 1 - k^2k -1:
1 - k^2k -1 = -(k^2 -1)k -1 = -(k -1)(k +1)k -1 = -(k +1)
Então:
2y - (k +1) = -k -1 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0

Passo 7

Com y = 0, voltamos à Equação 4 para encontrar x:
x + 3(0) = 0 Rightarrow x = 0
E já havíamos encontrado z = 1k -1.

Passo 8

Agora, temos a solução do sistema:
x = 0, y = 0, z = 1k -1
Para que o sistema não tenha solução, precisamos que alguma das equações resulte em uma contradição, ou seja, uma situação impossível.
Observamos que obtivemos z = 1k -1. Vamos analisar os casos:
  1. Se k neq 1 e k neq -1: Temos uma solução única.
  2. Se k = 1:
    • A expressão para z não é definida (divisão por zero).
    • Vamos verificar o sistema original para k = 1: 3x + 9y + (1 -1)z = 2 x + 3y + (1 -1)z = -2 3x + 11y + (1 -1)z = -2 Rightarrow 3x + 9y = 2 x + 3y = -2 3x + 11y = -2 Multiplicando a segunda equação por 3: 3x + 9y = -6 Comparando com a primeira equação: 3x + 9y = 2 e 3x + 9y = -6 Isso é uma contradição, pois 2 neq -6. Portanto, o sistema é inconsistente quando k = 1.
  3. Se k = -1:
    • A expressão para z seria z = 1-1 -1 = 1-2 = -12.
    • Vamos verificar o sistema original para k = -1: 3x + 9y + ((-1)^2 -1)z = 0 x + 3y + (1 - (-1)^2)z = 0 3x + 11y + (1 - (-1)^2)z = 0 Rightarrow 3x + 9y + 0z = 0 x + 3y + 0z = 0 3x + 11y + 0z = 0 Das duas primeiras equações, temos x = -3y e 3x + 9y = 0, que já estão de acordo. Da terceira equação: 3(-3y) + 11y = 0 Rightarrow -9y + 11y = 0 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0, x = 0 E z = -12. Portanto, o sistema tem solução única quando k = -1.

Resposta

O sistema não tem nenhuma solução quando k = 1.

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