tenha
Para quais valores de k, esse sistema tem
nenhuma solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e um parâmetro k. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de k esse sistema não tem nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e eliminação de Gauss. Vamos precisar manipular as equações para ver se conseguimos encontrar uma inconsistência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Para que o sistema não tenha solução, precisamos que alguma das equações resulte em uma contradição, ou seja, uma situação impossível.
Observamos que obtivemos z = 1k -1. Vamos analisar os casos:
Se k neq 1 e k neq -1: Temos uma solução única.
Se k = 1:
A expressão para z não é definida (divisão por zero).
Vamos verificar o sistema original para k = 1: 3x + 9y + (1 -1)z = 2 x + 3y + (1 -1)z = -2 3x + 11y + (1 -1)z = -2 Rightarrow 3x + 9y = 2 x + 3y = -2 3x + 11y = -2 Multiplicando a segunda equação por 3: 3x + 9y = -6 Comparando com a primeira equação: 3x + 9y = 2 e 3x + 9y = -6 Isso é uma contradição, pois 2 neq -6. Portanto, o sistema é inconsistente quando k = 1.
Se k = -1:
A expressão para z seria z = 1-1 -1 = 1-2 = -12.
Vamos verificar o sistema original para k = -1: 3x + 9y + ((-1)^2 -1)z = 0 x + 3y + (1 - (-1)^2)z = 0 3x + 11y + (1 - (-1)^2)z = 0 Rightarrow 3x + 9y + 0z = 0 x + 3y + 0z = 0 3x + 11y + 0z = 0 Das duas primeiras equações, temos x = -3y e 3x + 9y = 0, que já estão de acordo. Da terceira equação: 3(-3y) + 11y = 0 Rightarrow -9y + 11y = 0 Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0, x = 0 E z = -12. Portanto, o sistema tem solução única quando k = -1.