Considere dois vetores
e
tais que
e o ângulo entre
e
é
. Determine um vetor
como combinação linear
e
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor
que é uma combinação linear dos vetores
e
. Sabemos que
,
e o ângulo entre eles é
. Além disso, precisamos que
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a combinação linear de vetores e o produto escalar (ou dot product).
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
como uma combinação linear de
e
. Isso significa que podemos escrever:
onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular os produtos escalares dados no enunciado usando a expressão de
que acabamos de escrever.
Primeiro, temos:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Fazemos o mesmo para o segundo produto escalar:
Sabemos que
e já calculamos
. Assim:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações com duas incógnitas:
Vamos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 5:
Passo 6
Subtraímos a Equação 1 simplificada da Equação 2 para eliminar
:
Passo 7
Agora que encontramos
, substituímos na Equação 1 simplificada para encontrar
:
Resposta
O vetor
é dado por: