Considere dois vetores e tais que e o ângulo entre e é . Determine um vetor como combinação linear e tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor que é uma combinação linear dos vetores e . Sabemos que , e o ângulo entre eles é . Além disso, precisamos que e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a combinação linear de vetores e o produto escalar (ou dot product).
Passo 2
Primeiro, vamos expressar como uma combinação linear de e . Isso significa que podemos escrever:
onde e são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular os produtos escalares dados no enunciado usando a expressão de que acabamos de escrever.
Primeiro, temos:
Sabemos que e . Então:
Passo 4
Fazemos o mesmo para o segundo produto escalar:
Sabemos que e já calculamos . Assim:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações com duas incógnitas:
Vamos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 5:
Passo 6
Subtraímos a Equação 1 simplificada da Equação 2 para eliminar :
Passo 7
Agora que encontramos , substituímos na Equação 1 simplificada para encontrar :