Considere dois vetores e tais que e o ângulo entre e é . Determine um vetor como combinação linear e tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor que é uma combinação linear dos vetores e . Sabemos que , e o ângulo entre eles é . Além disso, precisamos que e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a combinação linear de vetores e o produto escalar (ou dot product).

Passo 2

Primeiro, vamos expressar como uma combinação linear de e . Isso significa que podemos escrever:
onde e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular os produtos escalares dados no enunciado usando a expressão de que acabamos de escrever.
Primeiro, temos:
Sabemos que e . Então:
çã

Passo 4

Fazemos o mesmo para o segundo produto escalar:
Sabemos que e já calculamos . Assim:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 5:
çã

Passo 6

Subtraímos a Equação 1 simplificada da Equação 2 para eliminar :

Passo 7

Agora que encontramos , substituímos na Equação 1 simplificada para encontrar :

Resposta

O vetor é dado por:

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Assinale V para verdadeiro e F para falso. Justifique sua resposta.
a) ( ) As seguintes matrizes estão na forma escada.
Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor , sabendo que sua extremidade está em .
Determine se o sistema a abaixo é possível ou impossível e, em caso de sistema possível, determine grau de liberdade. Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss (Operações elementares) e indique o conjunto solução, se possível. Segue matriz ampliada do sistema:
Considerando o sistema em
tenha
Para quais valores de , esse sistema tem
uma única solução?