Considere dois vetores v e w tais que |v|=5,|w|=2 e o ângulo entre v e w é pi3. Determine um vetor u como combinação linear v e w tal que u cdot v=20 e u cdot w=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um vetor u que é uma combinação linear dos vetores v e w. Sabemos que |v| = 5, |w| = 2 e o ângulo entre eles é pi3. Além disso, precisamos que u cdot v = 20 e u cdot w = 5. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a combinação linear de vetores e o produto escalar (ou dot product).

Passo 2

Primeiro, vamos expressar u como uma combinação linear de v e w. Isso significa que podemos escrever:
u = a,v + b,w
onde a e b são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular os produtos escalares dados no enunciado usando a expressão de u que acabamos de escrever.
Primeiro, temos:
u cdot v = (a,v + b,w) cdot v = a,(v cdot v) + b,(w cdot v)
Sabemos que v cdot v = |v|^2 = 25 e w cdot v = |w||v|cos(pi3) = 2 times 5 times 12 = 5. Então:
25a + 5b = 20 (Equação 1) çã

Passo 4

Fazemos o mesmo para o segundo produto escalar:
u cdot w = (a,v + b,w) cdot w = a,(v cdot w) + b,(w cdot w)
Sabemos que w cdot w = |w|^2 = 4 e já calculamos v cdot w = 5. Assim:
5a + 4b = 5 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de equações com duas incógnitas:
25a + 5b = 20 (Equação 1) 5a + 4b = 5 (Equação 2) çãçã
Vamos simplificar a Equação 1 dividindo tudo por 5:
5a + b = 4 (Equação 1 simplificada) çã

Passo 6

Subtraímos a Equação 1 simplificada da Equação 2 para eliminar a:
(5a + 4b) - (5a + b) = 5 - 4 3b = 1 b = 13

Passo 7

Agora que encontramos b, substituímos na Equação 1 simplificada para encontrar a:
5a + 13 = 4 5a = 4 - 13 5a = 123 - 13 5a = 113 a = 1115

Resposta

O vetor u é dado por:
u = 1115,v + 13,w

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