Determine se o sistema a abaixo é possível ou impossível e, em caso de sistema possível, determine grau de liberdade. Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss (Operações elementares) e indique o conjunto solução, se possível. Segue matriz ampliada do sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é descobrir se esse sistema tem solução (ou seja, se é possível resolver) e, se for o caso, determinar o grau de liberdade das variáveis. Para isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que envolve realizar operações elementares nas linhas da matriz para simplificá-la e facilitar a resolução. Então, vamos pegar nossas habilidades de álgebra linear e botar a mão na massa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a matriz aumentada para facilitar o entendimento:
Queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar facilmente as soluções. O objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Passo 3
Vamos começar pela primeira linha. O primeiro elemento é -1. Para facilitar, vamos multiplicar a primeira linha por -1 para que o primeiro elemento seja 1. Isso não muda as soluções do sistema.
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, vamos realizar as seguintes operações:
Aplicando essas operações:
Para :
Para :
A matriz atualizada fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Observamos que o segundo elemento da terceira linha é 1, o que é ótimo para continuar a eliminação. Vamos trocar as linhas 2 e 3 para facilitar o processo.
Após a troca, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o elemento acima do 1 na terceira coluna. Queremos zerar o -1 na primeira linha, terceira coluna. Para isso, vamos realizar:
Fazendo isso:
A matriz fica:
Passo 7
Agora, temos a matriz em uma forma triangular superior, o que facilita identificar as soluções. A partir daqui, podemos expressar as variáveis em termos das outras:
Da terceira linha:
Da segunda linha:
Da primeira linha:
Notamos que a variável não aparece nas equações, o que significa que ela é uma variável livre.
Passo 8
Como temos uma variável livre (), o sistema possui infinitas soluções. O grau de liberdade é 1, correspondendo à variável . Podemos expressar as soluções em termos de , onde é um parâmetro real.
Resposta
O sistema é possível e possui grau de liberdade igual a 1. O conjunto solução é dado por: