Determine se o sistema a abaixo é possível ou impossível e, em caso de sistema possível, determine grau de liberdade. Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss (Operações elementares) e indique o conjunto solução, se possível. Segue matriz ampliada do sistema:
[rrrr|r -1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é descobrir se esse sistema tem solução (ou seja, se é possível resolver) e, se for o caso, determinar o grau de liberdade das variáveis. Para isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que envolve realizar operações elementares nas linhas da matriz para simplificá-la e facilitar a resolução. Então, vamos pegar nossas habilidades de álgebra linear e botar a mão na massa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a matriz aumentada para facilitar o entendimento:
[rrrr|r -1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 & 0 & 0 ]
Queremos transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar facilmente as soluções. O objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.

Passo 3

Vamos começar pela primeira linha. O primeiro elemento é -1. Para facilitar, vamos multiplicar a primeira linha por -1 para que o primeiro elemento seja 1. Isso não muda as soluções do sistema.
R1 = -1 times R1
Então, a matriz fica:
[rrrr|r 1 & 0 & -1 & 0 & 0 2 & 0 & -1 & 0 & 1 3 & 1 & 1 & 0 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, vamos realizar as seguintes operações:
  • R2 = R2 - 2 times R1
  • R3 = R3 - 3 times R1
Aplicando essas operações:
Para R2:
2 - 2 times 1 = 0 0 - 2 times 0 = 0 -1 - 2 times (-1) = -1 + 2 = 1 0 - 2 times 0 = 0 1 - 2 times 0 = 1
Para R3:
3 - 3 times 1 = 0 1 - 3 times 0 = 1 1 - 3 times (-1) = 1 + 3 = 4 0 - 3 times 0 = 0 0 - 3 times 0 = 0
A matriz atualizada fica:
[rrrr|r 1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 4 & 0 & 0 ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Observamos que o segundo elemento da terceira linha é 1, o que é ótimo para continuar a eliminação. Vamos trocar as linhas 2 e 3 para facilitar o processo.
R2 rightarrow R3
Após a troca, a matriz fica:
[rrrr|r 1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar o elemento acima do 1 na terceira coluna. Queremos zerar o -1 na primeira linha, terceira coluna. Para isso, vamos realizar:
R1 = R1 + R3
Fazendo isso:
1 + 0 = 1 0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1
A matriz fica:
[rrrr|r 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, temos a matriz em uma forma triangular superior, o que facilita identificar as soluções. A partir daqui, podemos expressar as variáveis em termos das outras:
  • Da terceira linha: x3 = 1
  • Da segunda linha: x2 + 4x3 = 0 Rightarrow x2 = -4x3 = -4
  • Da primeira linha: x1 = 1
Notamos que a variável x4 não aparece nas equações, o que significa que ela é uma variável livre.

Passo 8

Como temos uma variável livre ( x4), o sistema possui infinitas soluções. O grau de liberdade é 1, correspondendo à variável x4. Podemos expressar as soluções em termos de x4 = t, onde t é um parâmetro real.

Resposta

O sistema é possível e possui grau de liberdade igual a 1. O conjunto solução é dado por:
x1 = 1 x2 = -4 x3 = 1 x4 = t onde t in R

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