Dada a função
determine a derivada de em relação a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que envolve uma integral com limites que dependem de . O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que envolvem integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites que são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Aqui, temos um produto de duas partes: e a integral .

Passo 3

Para derivar , vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos derivar :

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usamos a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que são funções de :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Resolva as integrais indefinidas a seguir:
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
Assinale verdadeiro ou falso: