Dada a função
f(x)=x cdot integral0^ln x e^t^2 d t, x in[1, e]
determine a derivada de f em relação a x, d fd x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que envolve uma integral com limites que dependem de . O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que envolvem integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites que são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
f(x) = x cdot integral0^ln x e^t^2 dt
Aqui, temos um produto de duas partes: e a integral .

Passo 3

Para derivar , vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos derivar u'(x) = ddx x = 1 :

Passo 5

Agora, vamos derivar v'(x) = e^(ln x)^2 cdot ddx (ln x) - e^0^2 cdot ddx (0) . Para isso, usamos a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que são funções de v'(x) = e^(ln x)^2 cdot 1x :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 1 cdot integral0^ln x e^t^2 dt + x cdot ( e^(ln x)^2 cdot 1x )
Simplificando:
f'(x) = integral0^ln x e^t^2 dt + e^(ln x)^2

Resposta

A derivada de f'(x) = integral0^ln x e^t^2 dt + e^(ln x)^2 em relação a é:

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