Assinale verdadeiro ou Falso quanto a validez das seguintes afirmações: a) ( ) A interseção de dois subconjuntos
do espaço vetorial
é ainda um subconjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre a interseção de dois subconjuntos
dentro de um espaço vetorial
. Vamos precisar entender o que significa interseção de conjuntos e o que é um subconjunto
no contexto de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. É como um conjunto de vetores que você pode adicionar e multiplicar por escalar, obedecendo a certas regras. Agora, um subconjunto
se refere a um conjunto de vetores que são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum vetor desse conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores.
Passo 3
A interseção de dois conjuntos é basicamente os elementos que são comuns aos dois conjuntos. Então, quando falamos da interseção de dois subconjuntos
, estamos falando dos vetores que estão presentes em ambos os subconjuntos.
Passo 4
Agora, vamos pensar: se temos dois conjuntos de vetores que são linearmente independentes, o que acontece com os vetores que eles têm em comum? Se um conjunto é linearmente independente, qualquer subconjunto dele também é linearmente independente. Portanto, os vetores que estão na interseção não formam combinações lineares entre si, já que ambos os conjuntos originais eram
.
Passo 5
Assim, a interseção de dois subconjuntos
mantém essa propriedade de independência linear. Não importa quantos vetores estão na interseção, desde que cada um não possa ser expresso como combinação linear dos outros.
Resposta
Verdadeiro.
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sendo
e
Exiba um vetor não nulo
, em que
;
.
Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as seguintes igualdades:
;
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e
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