Determinar o subespaço gerado pelos conjuntos sendo e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelo conjunto , onde e . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses vetores usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como:
onde e são números reais.
Passo 3
Vamos substituir os valores de e na equação:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos expressar em termos das suas coordenadas:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Nosso objetivo é descrever todos os vetores a = x - 2b que satisfazem esse sistema. Para isso, vamos resolver o sistema para y = 2(x - 2b) + b = 2x - 4b + b = 2x - 3b e b = 2x - y3 em termos de a = x - 2(2x - y3) = 3x - 4x + 2y3 = -x + 2y3 e :
A partir da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
E substituindo em :
Passo 6
Agora, substituímos z = a + b = -x + 2y3 + 2x - y3 = x + y3 e z = x + y3 na terceira equação para :
Portanto, todo vetor no subespaço satisfaz a condição:
Passo 7
Isso significa que o subespaço gerado por é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Geometricamente, isso representa um plano no espaço tridimensional.
Resposta
O subespaço gerado pelos conjuntos é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Esse subespaço é um plano no espaço tridimensional.