Determinar o subespaço gerado pelos conjuntos v1, v2 sendo v1= (1,2,1) e v2=(2,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o subespaço gerado pelo conjunto , onde e . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar esses vetores usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado por w = a cdot v1 + b cdot v2 é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor nesse subespaço pode ser escrito como:
onde e são números reais.

Passo 3

Vamos substituir os valores de w = a cdot (1,2,1) + b cdot (2,1,1) e w = (a + 2b, ; 2a + b, ; a + b) na equação:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos expressar w = (x, y, z) = (a + 2b, ; 2a + b, ; a + b) em termos das suas coordenadas:
x = a + 2b y = 2a + b z = a + b
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Nosso objetivo é descrever todos os vetores a = x - 2b que satisfazem esse sistema. Para isso, vamos resolver o sistema para y = 2(x - 2b) + b = 2x - 4b + b = 2x - 3b e b = 2x - y3 em termos de a = x - 2(2x - y3) = 3x - 4x + 2y3 = -x + 2y3 e :
A partir da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
E substituindo em :

Passo 6

Agora, substituímos z = a + b = -x + 2y3 + 2x - y3 = x + y3 e z = x + y3 na terceira equação para :
Portanto, todo vetor no subespaço satisfaz a condição:

Passo 7

Isso significa que o subespaço gerado por é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Geometricamente, isso representa um plano no espaço tridimensional.

Resposta

O subespaço gerado pelos conjuntos é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Esse subespaço é um plano no espaço tridimensional.

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