Beleza, vamos lá! Você quer encontrar um vetor não nulo que esteja na interseção dos subespaços e . O é gerado pelos vetores e , e o é gerado pelos vetores e . Vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar esse vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar um vetor genérico que está em . Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos geradores de . Ou seja:
Onde e são escalares que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para o subespaço . Um vetor em pode ser escrito como:
Onde e são outros escalares.
Passo 4
Como queremos que esteja em ambos os subespaços, podemos igualar as duas expressões de :
Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os valores de e .
Passo 5
Vamos expandir as combinações lineares:
Isso resulta nas seguintes equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo da primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 7
Vamos escolher para simplificar os cálculos (pode ser qualquer valor diferente de zero). Então:
Agora, encontramos :
E :
Passo 8
Agora que temos os valores de e , podemos encontrar o vetor :