Exiba um vetor não nulo w in F1 cap F2, em que F1=S((0,1,-2),(1,1,1)); F2=S((-1,0,3),(2,-1,0)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar um vetor não nulo que esteja na interseção dos subespaços e . O é gerado pelos vetores e , e o é gerado pelos vetores e . Vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar esse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar um vetor genérico w = a(0,1,-2) + b(1,1,1) que está em . Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos geradores de . Ou seja:
Onde e são escalares que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para o subespaço w = c(-1,0,3) + d(2,-1,0) . Um vetor em pode ser escrito como:
Onde e são outros escalares.

Passo 4

Como queremos que a(0,1,-2) + b(1,1,1) = c(-1,0,3) + d(2,-1,0) esteja em ambos os subespaços, podemos igualar as duas expressões de :
Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos expandir as combinações lineares:
(0a + 1b, 1a + 1b, -2a + 1b) = (-1c + 2d, 0c -1d, 3c + 0d)
Isso resulta nas seguintes equações:
b = -c + 2d a + b = -d -2a + b = 3c

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
a = -d - b
Substituindo a = -d - (-c + 2d) = -d + c - 2d = c - 3d da primeira equação:
-2(c - 3d) + (-c + 2d) = 3c
Agora, substituímos -2c + 6d - c + 2d = 3c -3c + 8d = 3c 8d = 6c na terceira equação:
c = 43d
Simplificando:
Então, temos:

Passo 7

Vamos escolher c = 43 times 3 = 4 para simplificar os cálculos (pode ser qualquer valor diferente de zero). Então:
b = -c + 2d = -4 + 6 = 2
Agora, encontramos a = c - 3d = 4 - 9 = -5 :
E :

Passo 8

Agora que temos os valores de w = -5(0,1,-2) + 2(1,1,1) = (0, -5, 10) + (2, 2, 2) = (2, -3, 12) e , podemos encontrar o vetor :

Resposta

Um vetor não nulo em é .

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