Exiba um vetor não nulo , em que ; .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar um vetor não nulo que esteja na interseção dos subespaços e . O é gerado pelos vetores e , e o é gerado pelos vetores e . Vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar esse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar um vetor genérico que está em . Isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear dos geradores de . Ou seja:
Onde e são escalares que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para o subespaço . Um vetor em pode ser escrito como:
Onde e são outros escalares.

Passo 4

Como queremos que esteja em ambos os subespaços, podemos igualar as duas expressões de :
Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos expandir as combinações lineares:
Isso resulta nas seguintes equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo da primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Simplificando:
Então, temos:

Passo 7

Vamos escolher para simplificar os cálculos (pode ser qualquer valor diferente de zero). Então:
Agora, encontramos :
E :

Passo 8

Agora que temos os valores de e , podemos encontrar o vetor :

Resposta

Um vetor não nulo em é .

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Forneça uma descrição geométrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem as seguintes inequações e/ou conjunto de inequações ou equações: e ;
Determinar o subespaço gerado pelos conjuntos sendo e
Assinale verdadeiro ou Falso quanto a validez das seguintes afirmações: a) ( ) A interseção de dois subconjuntos do espaço vetorial é ainda um subconjunto .