Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear
é sobrejetora se e somente se
.
(a) Uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se uma transformação linear
é sobrejetora se e somente se a dimensão do núcleo de
,
, é igual à dimensão de
menos a dimensão de
, ou seja,
.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão). Esse teorema relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear com a dimensão do espaço de partida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se todo elemento do espaço de chegada
tem pelo menos um elemento no espaço de partida
que mapeia para ele. Ou seja, a imagem de
é todo o
:
Passo 3
Agora, o Teorema do Núcleo e da Imagem diz que para uma transformação linear
:
Se
é sobrejetora, então
, então:
Substituindo na fórmula do teorema:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 4
Até aqui, mostramos que se
é sobrejetora, então
. Mas a questão também pergunta se isso é “se e somente se”, ou seja, se a equação
implica que
é sobrejetora.
Vamos verificar o contrário. Suponha que
. Usando o Teorema do Núcleo e da Imagem novamente:
Isso significa que a imagem de
tem a mesma dimensão que
. Portanto,
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
Verdadeiro.
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As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.
Usando indução, prove: Para cada inteiro
é divisível por 3.
Determine a distância da reta
(a) ao plano
;
(b) ao eixo dos ;
© ao plano .
(b) ao eixo dos
© ao plano