Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear T: V longrightarrow W é sobrejetora se e somente se dim N(T)=dim(V)- dim(W).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se uma transformação linear é sobrejetora se e somente se a dimensão do núcleo de , , é igual à dimensão de menos a dimensão de , ou seja, .
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão). Esse teorema relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear com a dimensão do espaço de partida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear ser sobrejetora. Uma transformação Im(T) = W é sobrejetora se todo elemento do espaço de chegada tem pelo menos um elemento no espaço de partida que mapeia para ele. Ou seja, a imagem de é todo o :

Passo 3

Agora, o Teorema do Núcleo e da Imagem diz que para uma transformação linear dim V = dim N(T) + dim Im(T) :
dim Im(T) = dim W
Se dim V = dim N(T) + dim W é sobrejetora, então dim N(T) = dim V - dim W , então:
Substituindo na fórmula do teorema:
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Até aqui, mostramos que se dim Im(T) = dim V - dim N(T) = dim V - (dim V - dim W) = dim W é sobrejetora, então . Mas a questão também pergunta se isso é “se e somente se”, ou seja, se a equação implica que é sobrejetora.
Vamos verificar o contrário. Suponha que . Usando o Teorema do Núcleo e da Imagem novamente:
Isso significa que a imagem de tem a mesma dimensão que . Portanto, , ou seja, é sobrejetora.

Resposta

Verdadeiro.

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