Determine a distância da reta
(a) ao plano
;
(b) ao eixo dos
;
© ao plano
.
(b) ao eixo dos
© ao plano
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta
definida pelas equações
e
. Queremos descobrir a distância dessa reta para três objetos diferentes: (a) o plano
, (b) o eixo dos
, e © o plano
.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a distância entre uma linha e um plano, assim como entre uma linha e um eixo. Vamos usar fórmulas de geometria analítica para isso.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): a distância da reta
ao plano
.
O plano
é definido por
. Para encontrar a distância entre a reta e o plano, vamos analisar a posição de qualquer ponto da reta em relação ao plano.
Como a reta está definida por
e
, qualquer ponto na reta tem a coordenada
. O plano
tem
. A distância entre a reta e o plano é a distância entre dois pontos que têm a mesma
e
, mas
diferentes.
Então, a distância é simplesmente o valor absoluto da diferença nas coordenadas
:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): a distância da reta
ao eixo dos
.
O eixo dos
é onde
e
. Para encontrar a distância entre a reta e o eixo, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Como a reta tem
e
, a distância do ponto mais próximo da reta ao eixo dos
é:
Passo 4
Por fim, vamos resolver a parte ©: a distância da reta
ao plano
.
Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano:
Aqui, o plano
pode ser reescrito como
, então
,
,
e
.
Como a reta tem
e
, substituímos na fórmula:
Resposta
(a) A distância é 4 unidades;
(b) A distância é 5 unidades;
© A distância é unidades.
(b) A distância é 5 unidades;
© A distância é
Exercícios relacionados
Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear é sobrejetora se e somente se
.
(a) Uma transformação linear
As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.
Usando indução, prove:
.