Determine a distância da reta
r:l x=3 y=4
(a) ao plano xz;
(b) ao eixo dos z;
© ao plano pi: x+y-12=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações e . Queremos descobrir a distância dessa reta para três objetos diferentes: (a) o plano , (b) o eixo dos , e © o plano .
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a distância entre uma linha e um plano, assim como entre uma linha e um eixo. Vamos usar fórmulas de geometria analítica para isso.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): a distância da reta d = |4 - 0| = 4 ao plano .
O plano é definido por . Para encontrar a distância entre a reta e o plano, vamos analisar a posição de qualquer ponto da reta em relação ao plano.
Como a reta está definida por e , qualquer ponto na reta tem a coordenada . O plano tem . A distância entre a reta e o plano é a distância entre dois pontos que têm a mesma e , mas diferentes.
Então, a distância é simplesmente o valor absoluto da diferença nas coordenadas :

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): a distância da reta d = raiz(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 ao eixo dos .
O eixo dos é onde e . Para encontrar a distância entre a reta e o eixo, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Como a reta tem e , a distância do ponto mais próximo da reta ao eixo dos é:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte ©: a distância da reta d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 ao plano d = |1(3) + 1(4) + 0( z ) - 12|raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = |3 + 4 - 12|raiz2 = |-5|raiz2 = 5raiz2 = 5raiz22 .
Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano:
Aqui, o plano pode ser reescrito como , então , , e .
Como a reta tem e , substituímos na fórmula:

Resposta

(a) A distância é 4 unidades;
(b) A distância é 5 unidades;
© A distância é unidades.

Exercícios relacionados