Determine a distância da reta
(a) ao plano ;
(b) ao eixo dos ;
© ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações e . Queremos descobrir a distância dessa reta para três objetos diferentes: (a) o plano , (b) o eixo dos , e © o plano .
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a distância entre uma linha e um plano, assim como entre uma linha e um eixo. Vamos usar fórmulas de geometria analítica para isso.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): a distância da reta ao plano .
O plano é definido por . Para encontrar a distância entre a reta e o plano, vamos analisar a posição de qualquer ponto da reta em relação ao plano.
Como a reta está definida por e , qualquer ponto na reta tem a coordenada . O plano tem . A distância entre a reta e o plano é a distância entre dois pontos que têm a mesma e , mas diferentes.
Então, a distância é simplesmente o valor absoluto da diferença nas coordenadas :

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): a distância da reta ao eixo dos .
O eixo dos é onde e . Para encontrar a distância entre a reta e o eixo, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Como a reta tem e , a distância do ponto mais próximo da reta ao eixo dos é:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte ©: a distância da reta ao plano .
Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano:
Aqui, o plano pode ser reescrito como , então , , e .
Como a reta tem e , substituímos na fórmula:

Resposta

(a) A distância é 4 unidades;
(b) A distância é 5 unidades;
© A distância é unidades.

Exercícios relacionados

Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear é sobrejetora se e somente se .
As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.
Determine a equação do círculo tal que e são pontos diametralmente opostos e faça um esboço.
Usando indução, prove: .