As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse. (3,0)-5 x^2+4 y^2+30 x+16 y=9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação , que representa uma curva no plano. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma reduzida, ou seja, na forma padrão de uma circunferência, elipse ou hipérbole. Para isso, vamos completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de -5x^2 + 30x + 4y^2 + 16y = 9 e :

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
-5(x^2 - 6x) + 4(y^2 + 4y) = 9

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado para os termos dentro dos parênteses.
Para x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 :
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Para :

Passo 5

Substituímos essas expressões na equação:
-5[(x - 3)^2 - 9] + 4[(y + 2)^2 - 4] = 9

Passo 6

Distribuímos os coeficientes:
-5(x - 3)^2 + 45 + 4(y + 2)^2 - 16 = 9
Simplificando os números:
-5(x - 3)^2 + 4(y + 2)^2 + 29 = 9

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
-5(x - 3)^2 + 4(y + 2)^2 = -20

Passo 8

Dividimos toda a equação por (x - 3)^24 - (y + 2)^25 = 1 para facilitar a identificação da curva:

Resposta

A equação reduzida da curva é , que representa uma hipérbole.

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