As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação , que representa uma curva no plano. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma reduzida, ou seja, na forma padrão de uma circunferência, elipse ou hipérbole. Para isso, vamos completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:

Passo 4

Em seguida, completamos o quadrado para os termos dentro dos parênteses.
Para :
Para :

Passo 5

Substituímos essas expressões na equação:

Passo 6

Distribuímos os coeficientes:
Simplificando os números:

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:

Passo 8

Dividimos toda a equação por para facilitar a identificação da curva:

Resposta

A equação reduzida da curva é , que representa uma hipérbole.

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Usando indução, prove: Para cada inteiro é divisível por 3.
Calcule a distância entre os planos e .
Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear é sobrejetora se e somente se .
Determine a distância da reta
(a) ao plano ;
(b) ao eixo dos ;
© ao plano .