As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
, que representa uma curva no plano. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma reduzida, ou seja, na forma padrão de uma circunferência, elipse ou hipérbole. Para isso, vamos completar o quadrado nos termos de
e
.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Passo 4
Em seguida, completamos o quadrado para os termos dentro dos parênteses.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituímos essas expressões na equação:
Passo 6
Distribuímos os coeficientes:
Simplificando os números:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 8
Dividimos toda a equação por
para facilitar a identificação da curva:
Resposta
A equação reduzida da curva é
, que representa uma hipérbole.