Usando indução, prove: Para cada inteiro
é divisível por 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de indução matemática, que é uma técnica pra provar que uma afirmação vale para todos os números inteiros. A questão quer que a gente mostre que, para qualquer inteiro
, o valor
é divisível por 3. Ou seja, quando você divide
por 3, o resto é zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é divisibilidade, como usar a indução matemática passo a passo, e aplicar algumas propriedades de álgebra. Vamos dividir a resolução em partes bem claras!
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o caso base da indução. Isso significa que vamos testar a afirmação para o menor valor de
que faz sentido. Geralmente, começamos com
, mas também podemos testar
.
Vamos testar
:
O número 0 é divisível por 3 porque
com resto 0. Então, o caso base funciona!
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. Isso tem duas partes:
- Hipótese de indução: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro
. Ou seja, assumimos que é divisível por 3.
- Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que também é divisível por 3.
Passo 4
Vamos expandir
usando a fórmula do binômio:
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos reescrever essa expressão de uma forma que destaque a hipótese de indução:
Lembrando da nossa hipótese de indução, sabemos que
é divisível por 3, ou seja,
. Substituindo:
Perceba que
é um número inteiro, então temos:
Isso mostra que
também é divisível por 3.
Resposta
Então, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro
,
é divisível por 3.
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e
.
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;
As equações abaixo representam curvas no plano. Em cada caso, determine a equação reduzida da curva e identifique se é uma circunferência, hipérbole ou elipse.
Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear é sobrejetora se e somente se
.
(a) Uma transformação linear