Usando indução, prove: Para cada inteiro m, m^3-m é divisível por 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de indução matemática, que é uma técnica pra provar que uma afirmação vale para todos os números inteiros. A questão quer que a gente mostre que, para qualquer inteiro , o valor é divisível por 3. Ou seja, quando você divide por 3, o resto é zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é divisibilidade, como usar a indução matemática passo a passo, e aplicar algumas propriedades de álgebra. Vamos dividir a resolução em partes bem claras!

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o caso base da indução. Isso significa que vamos testar a afirmação para o menor valor de 0^3 - 0 = 0 - 0 = 0 que faz sentido. Geralmente, começamos com , mas também podemos testar .
Vamos testar :
O número 0 é divisível por 3 porque com resto 0. Então, o caso base funciona!

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. Isso tem duas partes:
  1. Hipótese de indução: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum inteiro k^3 - k = 3n para algum inteiro n . Ou seja, assumimos que é divisível por 3.
  1. Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que também é divisível por 3.

Passo 4

Vamos expandir (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 usando a fórmula do binômio:
(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos reescrever essa expressão de uma forma que destaque a hipótese de indução:
k^3 + 3k^2 + 2k = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k
Lembrando da nossa hipótese de indução, sabemos que 3n + 3k^2 + 3k = 3(n + k^2 + k) é divisível por 3, ou seja, (k + 1)^3 - (k + 1) = 3 times inteiro . Substituindo:
Perceba que é um número inteiro, então temos:
Isso mostra que também é divisível por 3.

Resposta

Então, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro , é divisível por 3.

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