(3,0) Determine a equação do círculo tal que A(5 ; 9) e B(7 ;-3) são pontos diametralmente opostos e faça um esboço.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria onde precisamos encontrar a equação de um círculo. Os pontos A(5; 9) e B(7; -3) são dados como pontos diametralmente opostos no círculo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de centro e raio do círculo, além da fórmula da equação geral do círculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o centro do círculo. Como A e B são pontos diametralmente opostos, o centro será o ponto médio entre eles. Para encontrar o ponto médio M(h, k) entre A(x1, y1) e B(x2, y2), usamos as fórmulas:
h = x1 + x22 e k = y1 + y22
Substituindo os valores de A(5; 9) e B(7; -3):
h = 5 + 72 = 122 = 6
k = 9 + (-3)2 = 62 = 3
Portanto, o centro do círculo é M(6; 3).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio do círculo. Sabemos que a distância entre A e B é o diâmetro do círculo. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(7 - 5)^2 + (-3 - 9)^2 = raiz2^2 + (-12)^2 = raiz4 + 144 = raiz148 = 2raiz37
O raio r é metade do diâmetro:
r = d2 = raiz37

Passo 4

Com o centro M(6; 3) e o raio r = raiz37, podemos usar a fórmula geral da equação do círculo:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Substituindo os valores:
(x - 6)^2 + (y - 3)^2 = (raiz37)^2
(x - 6)^2 + (y - 3)^2 = 37

Resposta

A equação do círculo é (x - 6)^2 + (y - 3)^2 = 37.

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