Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se é tal que , então .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear e queremos saber se a afirmação "Se é tal que , então " é verdadeira ou falsa. Isso envolve o estudo da injeção em transformações lineares, ou seja, quando cada elemento de é mapeado de forma única em .

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear é injetora se, sempre que , então . No caso específico onde , se for injetora, isso só acontece quando . Portanto, a afirmação está dizendo que a transformação é injetora.

Passo 3

Agora, é importante notar que nem toda transformação linear possui essa propriedade. Se o núcleo (conjunto dos vetores que são mapeados para zero) de contiver apenas o vetor zero, então é injetora. Caso contrário, existem vetores diferentes de zero que são mapeados para zero, tornando a afirmação falsa.

Passo 4

A afirmação "Se , então " é verdadeira somente se a transformação for injetora. Como a questão não especifica que é injetora, não podemos assumir que isso seja sempre verdade.

Resposta

Falso. Nem toda transformação linear garante que implique ; isso só acontece se for injetora.

Exercícios relacionados

Prove que uma transformação linear transforma todo conjunto convexo num conjunto convexo .
Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
a)
b) e .
Dê as expressões dos funcionais lineares que formam a base dual em da base , onde e .
Seja um operador linear tal que para algum número natural . Prove que, , o operador é invertível.