Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se
é tal que
, então
.
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
e queremos saber se a afirmação "Se
é tal que
, então
" é verdadeira ou falsa. Isso envolve o estudo da injeção em transformações lineares, ou seja, quando cada elemento de
é mapeado de forma única em
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação linear
é injetora se, sempre que
, então
. No caso específico onde
, se
for injetora, isso só acontece quando
. Portanto, a afirmação está dizendo que a transformação é injetora.
Passo 3
Agora, é importante notar que nem toda transformação linear possui essa propriedade. Se o núcleo (conjunto dos vetores que são mapeados para zero) de
contiver apenas o vetor zero, então
é injetora. Caso contrário, existem vetores diferentes de zero que são mapeados para zero, tornando a afirmação falsa.
Passo 4
A afirmação "Se
, então
" é verdadeira somente se a transformação
for injetora. Como a questão não especifica que
é injetora, não podemos assumir que isso seja sempre verdade.
Resposta
Falso. Nem toda transformação linear garante que
implique
; isso só acontece se
for injetora.