Prove que uma transformação linear transforma todo conjunto convexo num conjunto convexo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma transformação linear leva todo conjunto convexo a um conjunto convexo . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e o que define um conjunto convexo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos e em , qualquer combinação linear deles com coeficientes que somam 1 também está em . Ou seja, para todo em :
Isso basicamente significa que qualquer ponto na linha que conecta e está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores em e todo escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 4

Para provar que é convexo, precisamos mostrar que, para quaisquer dois pontos e em , e para todo em , a combinação também está em .

Passo 5

Sabemos que e estão em , pois e estão em . Como é convexo, a combinação também está em .

Passo 6

Aplicando a transformação linear nessa combinação, temos:
Isso usa a propriedade da linearidade de .

Passo 7

Como está em , seu mapeamento está em . Portanto:

Resposta

Assim, provamos que é um conjunto convexo, já que qualquer combinação convexa de pontos em também pertence a .

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Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
a)
b) e .
Seja o plano . Calcular:
a) O ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3 ;
b) O ponto de que tem abscissa 1 e cota 2 ;
c) O valor de para que o ponto pertence a ;
d) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se é tal que , então .
Dê as expressões dos funcionais lineares que formam a base dual em da base , onde e .