Prove que uma transformação linear
transforma todo conjunto convexo
num conjunto convexo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma transformação linear
leva todo conjunto convexo
a um conjunto convexo
. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e o que define um conjunto convexo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto
é convexo se, para quaisquer dois pontos
e
em
, qualquer combinação linear deles com coeficientes que somam 1 também está em
. Ou seja, para todo
em
:
Isso basicamente significa que qualquer ponto na linha que conecta
e
está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para todos os vetores
em
e todo escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Para provar que
é convexo, precisamos mostrar que, para quaisquer dois pontos
e
em
, e para todo
em
, a combinação
também está em
.
Passo 5
Sabemos que
e
estão em
, pois
e
estão em
. Como
é convexo, a combinação
também está em
.
Passo 6
Aplicando a transformação linear
nessa combinação, temos:
Isso usa a propriedade da linearidade de
.
Passo 7
Como
está em
, seu mapeamento
está em
. Portanto:
Resposta
Assim, provamos que
é um conjunto convexo, já que qualquer combinação convexa de pontos em
também pertence a
.