Prove que uma transformação linear transforma todo conjunto convexo num conjunto convexo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma transformação linear leva todo conjunto convexo a um conjunto convexo . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e o que define um conjunto convexo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos e em , qualquer combinação linear deles com coeficientes que somam 1 também está em . Ou seja, para todo em :
Isso basicamente significa que qualquer ponto na linha que conecta e está dentro de .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores em e todo escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Para provar que é convexo, precisamos mostrar que, para quaisquer dois pontos e em , e para todo em , a combinação também está em .
Passo 5
Sabemos que e estão em , pois e estão em . Como é convexo, a combinação também está em .
Passo 6
Aplicando a transformação linear nessa combinação, temos:
Isso usa a propriedade da linearidade de .
Passo 7
Como está em , seu mapeamento está em . Portanto:
Resposta
Assim, provamos que é um conjunto convexo, já que qualquer combinação convexa de pontos em também pertence a .