Prove que uma transformação linear T: V W transforma todo conjunto convexo C subset V num conjunto convexo T(C) subset W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma transformação linear leva todo conjunto convexo a um conjunto convexo . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e o que define um conjunto convexo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto lambda x + (1 - lambda) y in C é convexo se, para quaisquer dois pontos e em , qualquer combinação linear deles com coeficientes que somam 1 também está em . Ou seja, para todo em :
Isso basicamente significa que qualquer ponto na linha que conecta e está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para todos os vetores T(a u) = a T(u) em e todo escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
Essas propriedades garantem que a transformação preserva as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 4

Para provar que é convexo, precisamos mostrar que, para quaisquer dois pontos e em , e para todo em , a combinação também está em .

Passo 5

Sabemos que e estão em , pois e estão em . Como é convexo, a combinação também está em .

Passo 6

Aplicando a transformação linear T(lambda x + (1 - lambda) y) = lambda T(x) + (1 - lambda) T(y) nessa combinação, temos:
Isso usa a propriedade da linearidade de .

Passo 7

Como lambda T(x) + (1 - lambda) T(y) in T(C) está em , seu mapeamento está em . Portanto:

Resposta

Assim, provamos que é um conjunto convexo, já que qualquer combinação convexa de pontos em também pertence a .

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