Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
a) r:lx=0, y=lambda, lambda in R e pi: z=0 z=lambda
b) r: x=y=z e pi: z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois casos onde precisamos encontrar o ângulo entre uma reta e um plano. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente vetores e ângulos entre objetos geométricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a direção da reta e a normal do plano, e então usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre eles.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da reta x = 0 y = lambda z = lambda e do plano .
A reta é dada por:
Isso significa que a reta passa por todos os pontos onde , e .
O plano é dado por . Esse é o plano XY, onde todos os pontos têm a coordenada igual a zero.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
Para a reta , como e , podemos ver que a direção da reta é .
Para o plano , o vetor normal é , já que o plano é paralelo ao eixo XY.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo sin(theta) = |v cdot n||v| cdot |n| entre a reta e o plano:
Isso porque o ângulo entre a reta e o plano é complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar v cdot n = 0 times 0 + 1 times 0 + 1 times 1 = 1 :
|v| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Os módulos dos vetores são:
|n| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1

Passo 6

Substituindo na fórmula:
sin(theta) = 1raiz2 times 1 = 1raiz2 approx 0,7071
Agora, para encontrar theta = arcsin(1raiz2) = 45^circ , tiramos o arco seno:

Passo 7

Vamos resolver a segunda parte do exercício. Aqui, a reta é definida por e o plano continua sendo . Vamos seguir os mesmos passos para encontrar o ângulo entre a reta e o plano.

Passo 8

Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
A reta : . Podemos parametrizar a reta como , então o vetor diretor é .
O plano tem o vetor normal .

Passo 9

Usamos novamente a fórmula do seno do ângulo:
sin(theta) = |v cdot n||v| cdot |n|

Passo 10

Calculando o produto escalar:
v cdot n = 1 times 0 + 1 times 0 + 1 times 1 = 1
E os módulos dos vetores:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
|n| = 1

Passo 11

Substituindo na fórmula:
sin(theta) = 1raiz3 approx 0,5774
Então, o ângulo theta = arcsin(1raiz3) approx 35^circ é:

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é de aproximadamente .

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