Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
a)
b) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois casos onde precisamos encontrar o ângulo entre uma reta e um plano. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente vetores e ângulos entre objetos geométricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a direção da reta e a normal do plano, e então usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre eles.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da reta e do plano .
A reta é dada por:
Isso significa que a reta passa por todos os pontos onde , e .
O plano é dado por . Esse é o plano XY, onde todos os pontos têm a coordenada igual a zero.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
Para a reta , como e , podemos ver que a direção da reta é .
Para o plano , o vetor normal é , já que o plano é paralelo ao eixo XY.

Passo 4

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre a reta e o plano:
Isso porque o ângulo entre a reta e o plano é complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Os módulos dos vetores são:

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Agora, para encontrar , tiramos o arco seno:

Passo 7

Vamos resolver a segunda parte do exercício. Aqui, a reta é definida por e o plano continua sendo . Vamos seguir os mesmos passos para encontrar o ângulo entre a reta e o plano.

Passo 8

Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
A reta : . Podemos parametrizar a reta como , então o vetor diretor é .
O plano tem o vetor normal .

Passo 9

Usamos novamente a fórmula do seno do ângulo:

Passo 10

Calculando o produto escalar:
E os módulos dos vetores:

Passo 11

Substituindo na fórmula:
Então, o ângulo é:

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Seja o plano . Calcular:
a) O ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3 ;
b) O ponto de que tem abscissa 1 e cota 2 ;
c) O valor de para que o ponto pertence a ;
d) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos e .
a) Verifique se o ponto está nesse plano.
b) Verifique se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida nesse plano.
Prove que uma transformação linear transforma todo conjunto convexo num conjunto convexo .
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se é tal que , então .