Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
a)
b) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois casos onde precisamos encontrar o ângulo entre uma reta e um plano. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente vetores e ângulos entre objetos geométricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a direção da reta e a normal do plano, e então usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre eles.
Parte a)
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações da reta e do plano .
A reta é dada por:
Isso significa que a reta passa por todos os pontos onde , e .
O plano é dado por . Esse é o plano XY, onde todos os pontos têm a coordenada igual a zero.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
Para a reta , como e , podemos ver que a direção da reta é .
Para o plano , o vetor normal é , já que o plano é paralelo ao eixo XY.
Passo 4
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre a reta e o plano:
Isso porque o ângulo entre a reta e o plano é complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
Os módulos dos vetores são:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Agora, para encontrar , tiramos o arco seno:
Passo 7
Vamos resolver a segunda parte do exercício. Aqui, a reta é definida por e o plano continua sendo . Vamos seguir os mesmos passos para encontrar o ângulo entre a reta e o plano.
Passo 8
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
A reta : . Podemos parametrizar a reta como , então o vetor diretor é .
O plano tem o vetor normal .
Passo 9
Usamos novamente a fórmula do seno do ângulo:
Passo 10
Calculando o produto escalar:
E os módulos dos vetores:
Passo 11
Substituindo na fórmula:
Então, o ângulo é:
Resposta
O ângulo entre a reta e o plano é de aproximadamente .