Dê as expressões dos funcionais lineares que formam a base dual em da base , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os funcionais lineares que formam a base dual de em relação à base , onde:
O que precisamos saber:
Base Dual: É uma base de funcionais lineares que “se comporta bem” com a base original. Ou seja, cada funcional da base dual “pega” somente um vetor da base original e retorna 1, e retorna 0 para os outros vetores.
Funcionais Lineares: São funções que respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso de , um funcional linear pode ser escrito como .
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que formam a base dual de .
Isso quer dizer que:
, ,
, ,
, ,
Ou seja, cada funcional “seleciona” um vetor da base original.
Passo 3
Agora, vamos expressar cada funcional linear de forma geral. Um funcional linear em pode ser escrito como:
Onde são coeficientes que queremos encontrar.
Vamos aplicar isso para cada funcional:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos sistemas de equações para cada funcional. Vamos resolver um por um.
Resolvendo para :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2b = 1 Rightarrow b = 12
(a + b + c) - (a + b - c) = 1 - 0
Subtraindo a terceira equação da primeira:
2c = 1 Rightarrow c = 12
a - 12 + 12 = 0 Rightarrow a = 0
Agora, substituindo f(x, y, z) = 12y + 12z e na segunda equação:
Então, , ou seja:
Passo 5
Resolvendo para a + b + c = 0 a - b + c = 1 a + b - c = 0 :
(a + b + c) - (a + b - c) = 0 - 0
Subtraindo a terceira equação da primeira:
2c = 0 Rightarrow c = 0
a - b + 0 = 1 Rightarrow a - b = 1
Substituindo a + b + 0 = 0 Rightarrow a + b = 0 na segunda equação:
a - b = 1
E na primeira equação:
a + b = 0
Resolvendo o sistema:
2a = 1 Rightarrow a = 12
12 + b = 0 Rightarrow b = -12
Somando as duas equações:
g(x, y, z) = 12x - 12y
Substituindo na segunda equação:
Então, , ou seja:
Passo 6
Resolvendo para a + b + c = 0 a - b + c = 0 a + b - c = 1 :
(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2b = 0 Rightarrow b = 0
a + 0 - c = 1 Rightarrow a - c = 1
Substituindo a + 0 + c = 0 Rightarrow a + c = 0 na terceira equação:
a - c = 1
E na primeira equação:
a + c = 0
Resolvendo o sistema:
2a = 1 Rightarrow a = 12
12 + c = 0 Rightarrow c = -12
Somando as duas equações:
h(x, y, z) = 12x - 12z
Substituindo na segunda equação:
Então, , ou seja:
Resposta
As expressões dos funcionais lineares são:
f(x, y, z) = dfrac12y + dfrac12z g(x, y, z) = dfrac12x - dfrac12y h(x, y, z) = dfrac12x - dfrac12z