Dê as expressões dos funcionais lineares f, g, h: R^3 R que formam a base dual em (R^3)^* da base u, v, w subset R^3, onde u=(1,1,1), v=(1,-1,1) e w=(1,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os funcionais lineares que formam a base dual de em relação à base , onde:
O que precisamos saber:
  • Base Dual: É uma base de funcionais lineares que “se comporta bem” com a base original. Ou seja, cada funcional da base dual “pega” somente um vetor da base original e retorna 1, e retorna 0 para os outros vetores.
  • Funcionais Lineares: São funções que respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso de , um funcional linear pode ser escrito como .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que formam a base dual de .
Isso quer dizer que:
  • , ,
  • , ,
  • , ,
Ou seja, cada funcional “seleciona” um vetor da base original.

Passo 3

Agora, vamos expressar cada funcional linear de forma geral. Um funcional linear em f(x, y, z) = a x + b y + c z pode ser escrito como:
f(u) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = a + b + c = 1
Onde f(v) = a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 1 = a - b + c = 0 são coeficientes que queremos encontrar.
Vamos aplicar isso para cada funcional:
Para f(w) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-1) = a + b - c = 0 :
g(u) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = a + b + c = 0
g(v) = a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 1 = a - b + c = 1
g(w) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-1) = a + b - c = 0
Para h(u) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = a + b + c = 0 :
h(v) = a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 1 = a - b + c = 0
h(w) = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-1) = a + b - c = 1
Para :

Passo 4

Agora, temos sistemas de equações para cada funcional. Vamos resolver um por um.
Resolvendo para a + b + c = 1 a - b + c = 0 a + b - c = 0 :
(a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2b = 1 Rightarrow b = 12
(a + b + c) - (a + b - c) = 1 - 0
Subtraindo a terceira equação da primeira:
2c = 1 Rightarrow c = 12
a - 12 + 12 = 0 Rightarrow a = 0
Agora, substituindo f(x, y, z) = 12y + 12z e na segunda equação:
Então, , ou seja:

Passo 5

Resolvendo para a + b + c = 0 a - b + c = 1 a + b - c = 0 :
(a + b + c) - (a + b - c) = 0 - 0
Subtraindo a terceira equação da primeira:
2c = 0 Rightarrow c = 0
a - b + 0 = 1 Rightarrow a - b = 1
Substituindo a + b + 0 = 0 Rightarrow a + b = 0 na segunda equação:
a - b = 1
E na primeira equação:
a + b = 0
Resolvendo o sistema:
2a = 1 Rightarrow a = 12
12 + b = 0 Rightarrow b = -12
Somando as duas equações:
g(x, y, z) = 12x - 12y
Substituindo na segunda equação:
Então, , ou seja:

Passo 6

Resolvendo para a + b + c = 0 a - b + c = 0 a + b - c = 1 :
(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2b = 0 Rightarrow b = 0
a + 0 - c = 1 Rightarrow a - c = 1
Substituindo a + 0 + c = 0 Rightarrow a + c = 0 na terceira equação:
a - c = 1
E na primeira equação:
a + c = 0
Resolvendo o sistema:
2a = 1 Rightarrow a = 12
12 + c = 0 Rightarrow c = -12
Somando as duas equações:
h(x, y, z) = 12x - 12z
Substituindo na segunda equação:
Então, , ou seja:

Resposta

As expressões dos funcionais lineares são:
f(x, y, z) = dfrac12y + dfrac12z g(x, y, z) = dfrac12x - dfrac12y h(x, y, z) = dfrac12x - dfrac12z

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