Dê as expressões dos funcionais lineares que formam a base dual em da base , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os funcionais lineares que formam a base dual de em relação à base , onde:
O que precisamos saber:
  • Base Dual: É uma base de funcionais lineares que “se comporta bem” com a base original. Ou seja, cada funcional da base dual “pega” somente um vetor da base original e retorna 1, e retorna 0 para os outros vetores.
  • Funcionais Lineares: São funções que respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso de , um funcional linear pode ser escrito como .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que formam a base dual de .
Isso quer dizer que:
  • , ,
  • , ,
  • , ,
Ou seja, cada funcional “seleciona” um vetor da base original.

Passo 3

Agora, vamos expressar cada funcional linear de forma geral. Um funcional linear em pode ser escrito como:
Onde são coeficientes que queremos encontrar.
Vamos aplicar isso para cada funcional:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, temos sistemas de equações para cada funcional. Vamos resolver um por um.
Resolvendo para :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, , ou seja:

Passo 5

Resolvendo para :
Subtraindo a terceira equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, , ou seja:

Passo 6

Resolvendo para :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na terceira equação:
E na primeira equação:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, , ou seja:

Resposta

As expressões dos funcionais lineares são:

Exercícios relacionados

Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se é tal que , então .
Prove que uma transformação linear transforma todo conjunto convexo num conjunto convexo .
Seja um operador linear tal que para algum número natural . Prove que, , o operador é invertível.
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se são colineares, então são colineares.