Dê as expressões dos funcionais lineares que formam a base dual em da base , onde e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os funcionais lineares que formam a base dual de em relação à base , onde:
O que precisamos saber:
Base Dual: É uma base de funcionais lineares que “se comporta bem” com a base original. Ou seja, cada funcional da base dual “pega” somente um vetor da base original e retorna 1, e retorna 0 para os outros vetores.
Funcionais Lineares: São funções que respeitam as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso de , um funcional linear pode ser escrito como .
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que formam a base dual de .
Isso quer dizer que:
, ,
, ,
, ,
Ou seja, cada funcional “seleciona” um vetor da base original.
Passo 3
Agora, vamos expressar cada funcional linear de forma geral. Um funcional linear em pode ser escrito como:
Onde são coeficientes que queremos encontrar.
Vamos aplicar isso para cada funcional:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos sistemas de equações para cada funcional. Vamos resolver um por um.