Seja
um operador linear tal que
para algum número natural
. Prove que,
, o operador
é invertível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
que, quando aplicado
vezes, dá zero, ou seja,
. Isso está ligado ao conceito de operadores nulos ou nilpotentes na álgebra linear. O exercício pede para provar que, para qualquer número diferente de zero
, o operador
é inversível. Vamos precisar entender o que significa um operador ser inversível e como a propriedade de
nos ajuda nessa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador inversível. Um operador
é inversível se existe outro operador
tal que
, onde
é o operador identidade. Ou seja,
“desfaz” a ação de
.
Passo 3
Agora, queremos provar que
é inversível para qualquer
. Vamos assumir que
é o operador
mencionado no enunciado. Então, temos
. Isso significa que, após aplicar
vezes, o resultado é sempre o operador nulo.
Passo 4
Para mostrar que
é inversível, vamos tentar encontrar seu inverso. Sabemos que
é nilpotente (
), então podemos usar a série geométrica finita para inversão:
Essa soma termina em
porque
, tornando todos os termos de ordem
ou superiores iguais a zero.
Passo 5
Vamos verificar se isso realmente funciona multiplicando
pelo que propomos ser o inverso:
Cada termo da multiplicação cancela adequadamente, deixando apenas o operador identidade, o que confirma que nossa expressão é de fato o inverso de
.
Resposta
Portanto, para qualquer
, o operador
é inversível, e seu inverso é dado por
Exercícios relacionados
Dê as expressões dos funcionais lineares
que formam a base dual em
da base
, onde
e
.
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se é tal que
, então
.
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se são colineares, então
são colineares.
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se
Mostre que os operadores lineares
, definidos por:
constituem uma base do espaço
. Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores
, onde: