Seja um operador linear tal que para algum número natural . Prove que, , o operador é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que, quando aplicado vezes, dá zero, ou seja, . Isso está ligado ao conceito de operadores nulos ou nilpotentes na álgebra linear. O exercício pede para provar que, para qualquer número diferente de zero , o operador é inversível. Vamos precisar entender o que significa um operador ser inversível e como a propriedade de nos ajuda nessa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador inversível. Um operador é inversível se existe outro operador tal que , onde é o operador identidade. Ou seja, “desfaz” a ação de .

Passo 3

Agora, queremos provar que é inversível para qualquer . Vamos assumir que é o operador mencionado no enunciado. Então, temos . Isso significa que, após aplicar vezes, o resultado é sempre o operador nulo.

Passo 4

Para mostrar que é inversível, vamos tentar encontrar seu inverso. Sabemos que é nilpotente ( ), então podemos usar a série geométrica finita para inversão:
Essa soma termina em porque , tornando todos os termos de ordem ou superiores iguais a zero.

Passo 5

Vamos verificar se isso realmente funciona multiplicando pelo que propomos ser o inverso:
Cada termo da multiplicação cancela adequadamente, deixando apenas o operador identidade, o que confirma que nossa expressão é de fato o inverso de .

Resposta

Portanto, para qualquer , o operador é inversível, e seu inverso é dado por

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Dê as expressões dos funcionais lineares que formam a base dual em da base , onde e .
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(a) ( ) Se é tal que , então .
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se são colineares, então são colineares.
Mostre que os operadores lineares , definidos por:
constituem uma base do espaço . Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores , onde: