Seja T: V V um operador linear tal que T^k=0 para algum número natural k. Prove que, forall alpha neq 0, o operador A-alpha I é invertível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que, quando aplicado vezes, dá zero, ou seja, . Isso está ligado ao conceito de operadores nulos ou nilpotentes na álgebra linear. O exercício pede para provar que, para qualquer número diferente de zero , o operador é inversível. Vamos precisar entender o que significa um operador ser inversível e como a propriedade de nos ajuda nessa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador inversível. Um operador é inversível se existe outro operador tal que , onde é o operador identidade. Ou seja, “desfaz” a ação de .

Passo 3

Agora, queremos provar que é inversível para qualquer . Vamos assumir que é o operador mencionado no enunciado. Então, temos . Isso significa que, após aplicar vezes, o resultado é sempre o operador nulo.

Passo 4

Para mostrar que (T - alpha I)^-1 = 1-alpha ( I + Talpha + ( Talpha )^2 + dots + ( Talpha )^k-1 ) é inversível, vamos tentar encontrar seu inverso. Sabemos que é nilpotente ( ), então podemos usar a série geométrica finita para inversão:
Essa soma termina em porque , tornando todos os termos de ordem ou superiores iguais a zero.

Passo 5

Vamos verificar se isso realmente funciona multiplicando (T - alpha I) cdot 1-alpha ( I + Talpha + dots + ( Talpha )^k-1 ) = I pelo que propomos ser o inverso:
Cada termo da multiplicação cancela adequadamente, deixando apenas o operador identidade, o que confirma que nossa expressão é de fato o inverso de .

Resposta

Portanto, para qualquer (A - alpha I)^-1 = 1-alpha ( I + Aalpha + ( Aalpha )^2 + dots + ( Aalpha )^k-1 ) , o operador é inversível, e seu inverso é dado por

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