Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear T: V W
(d) ( ) Se u, v, w in V são colineares, então T(u), T(v), T(w) são colineares.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma transformação linear e três vetores no espaço vetorial que são colineares. A questão pergunta se, após aplicarmos nesses vetores, os vetores resultantes também serão colineares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de transformação linear e o que significa vetores serem colineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(a + b) = T(a) + T(b) é linear se, para quaisquer vetores T(c cdot a) = c cdot T(a) e em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Essas propriedades nos dizem que preserva a adição e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa os vetores serem colineares. Três vetores são colineares se existe um escalar tal que e para algum escalar . Isso significa que todos os três vetores estão na mesma linha reta no espaço vetorial.

Passo 4

Vamos aplicar a transformação linear T(v) = T(k cdot u) = k cdot T(u) nos vetores colineares T(w) = T(m cdot u) = m cdot T(u) . Como , aplicando temos:
Da mesma forma, para :
Isso mostra que e são múltiplos escalares de .

Passo 5

Se e são múltiplos escalares de , então todos os três vetores estão na mesma linha reta em . Isso significa que eles são colineares no espaço de chegada .

Resposta

(V)

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