Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se
são colineares, então
são colineares.
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma transformação linear
e três vetores
no espaço vetorial
que são colineares. A questão pergunta se, após aplicarmos
nesses vetores, os vetores resultantes
também serão colineares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de transformação linear e o que significa vetores serem colineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
Essas propriedades nos dizem que
preserva a adição e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa os vetores serem colineares. Três vetores
são colineares se existe um escalar
tal que
e
para algum escalar
. Isso significa que todos os três vetores estão na mesma linha reta no espaço vetorial.
Passo 4
Vamos aplicar a transformação linear
nos vetores colineares
. Como
, aplicando
temos:
Da mesma forma, para
:
Isso mostra que
e
são múltiplos escalares de
.
Passo 5
Se
e
são múltiplos escalares de
, então todos os três vetores
estão na mesma linha reta em
. Isso significa que eles são colineares no espaço de chegada
.
Resposta
(V)
Exercícios relacionados
Seja
um operador linear tal que
para algum número natural
. Prove que,
, o operador
é invertível.
Dê as expressões dos funcionais lineares
que formam a base dual em
da base
, onde
e
.
Mostre que os operadores lineares
, definidos por:
constituem uma base do espaço
. Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores
, onde:
Quais das transformações abaixo são lineares?
(b) ;
(b)