Mostre que os operadores lineares E11, E12, E21, E22: R^2 R^2, definidos por:
& E11(x, y)=(x, 0), E12(x, y)=(0, x) & E21(x, y)=(y, 0) e E22(x, y)=(0, y)
constituem uma base do espaço mathscrL(R^2). Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores A, B, C, I, onde:
r A(x, y)=(x+3 y, y), B(x, y)=(x, 0) C(x, y)=(x+y, x-y) e I(x, y)=(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que certos operadores lineares formam uma base para o espaço das transformações lineares de , que a gente denota por . Basicamente, uma base é um conjunto de elementos que são suficientes para construir qualquer elemento do espaço através de combinações lineares, e que esses elementos não se redundam (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares e como verificar se eles formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os operadores &E11(x, y) = (x, 0) &E12(x, y) = (0, x) &E21(x, y) = (y, 0) &E22(x, y) = (0, y) definidos por:
E11 = 1 & 0 0 & 0
Esses operadores podem ser representados por matrizes 2x2. Por exemplo, corresponde à matriz:
E de forma semelhante para os outros operadores. Agora, o espaço tem dimensão 4, porque cada operador linear pode ser representado por uma matriz 2x2, e há 4 entradas nessa matriz.

Passo 3

Para mostrar que aE11 + bE12 + cE21 + dE22 = 0 formam uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço (aE11 + bE12 + cE21 + dE22)(x, y) = (0, 0) .
  1. Independência Linear: Suponha que uma combinação linear desses operadores dá o operador zero:
(a x + c y, b x + d y) = (0, 0)
Isso significa que para todo a & b c & d , temos:
aE11 + bE12 + cE21 + dE22
Calculando isso, obtemos:
Para que isso seja verdadeiro para todos e , devemos ter . Portanto, os operadores são linearmente independentes.
  1. Geração do Espaço: Qualquer operador linear em pode ser escrito como uma combinação desses . Por exemplo, um operador com matriz pode ser escrito como:
Isso mostra que eles geram todo o espaço .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício, onde precisamos mostrar que os operadores &A(x, y) = (x + 3y, y) &B(x, y) = (x, 0) &C(x, y) = (x + y, x - y) &I(x, y) = (x, y) também formam uma base para A = 1 & 3 0 & 1 , B = E11, C = 1 & 1 1 & -1 , I = 1 & 0 0 & 1 . Eles são definidos por:
Primeiro, vamos entender as matrizes correspondentes a esses operadores:

Passo 5

Para verificar se aA + bB + cC + dI = 0 formam uma base, seguimos os mesmos passos de antes: verificar a independência linear e se eles geram todo o espaço.
  1. Independência Linear: Suponha que exista uma combinação linear desses operadores que resulte no operador zero:
aA(x, y) + bB(x, y) + cC(x, y) + dI(x, y) = (0, 0)
Isso significa que para todo a(x + 3y, y) + b(x, 0) + c(x + y, x - y) + d(x, y) = (0, 0) :
a(x + 3y) + b x + c(x + y) + d x = 0 a y + c(x - y) + d y = 0
Substituindo as definições:
Isso resulta em um sistema de equações:
Para que isso seja válido para todos e , os coeficientes de e devem ser zero. Resolvendo o sistema, encontramos que . Portanto, os operadores são linearmente independentes.
  1. Geração do Espaço: Precisamos mostrar que qualquer operador linear em pode ser escrito como uma combinação de . Como já sabemos que tem dimensão 4 e temos 4 operadores independentes, automaticamente eles geram todo o espaço.

Resposta

Concluímos que tanto os operadores quanto os operadores formam bases para o espaço das transformações lineares .

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