Mostre que os operadores lineares , definidos por:
constituem uma base do espaço . Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores , onde:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que certos operadores lineares formam uma base para o espaço das transformações lineares de , que a gente denota por . Basicamente, uma base é um conjunto de elementos que são suficientes para construir qualquer elemento do espaço através de combinações lineares, e que esses elementos não se redundam (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares e como verificar se eles formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os operadores definidos por:
Esses operadores podem ser representados por matrizes 2x2. Por exemplo, corresponde à matriz:
E de forma semelhante para os outros operadores. Agora, o espaço tem dimensão 4, porque cada operador linear pode ser representado por uma matriz 2x2, e há 4 entradas nessa matriz.

Passo 3

Para mostrar que formam uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
  1. Independência Linear: Suponha que uma combinação linear desses operadores dá o operador zero:
Isso significa que para todo , temos:
Calculando isso, obtemos:
Para que isso seja verdadeiro para todos e , devemos ter . Portanto, os operadores são linearmente independentes.
  1. Geração do Espaço: Qualquer operador linear em pode ser escrito como uma combinação desses . Por exemplo, um operador com matriz pode ser escrito como:
Isso mostra que eles geram todo o espaço .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício, onde precisamos mostrar que os operadores também formam uma base para . Eles são definidos por:
Primeiro, vamos entender as matrizes correspondentes a esses operadores:

Passo 5

Para verificar se formam uma base, seguimos os mesmos passos de antes: verificar a independência linear e se eles geram todo o espaço.
  1. Independência Linear: Suponha que exista uma combinação linear desses operadores que resulte no operador zero:
Isso significa que para todo :
Substituindo as definições:
Isso resulta em um sistema de equações:
Para que isso seja válido para todos e , os coeficientes de e devem ser zero. Resolvendo o sistema, encontramos que . Portanto, os operadores são linearmente independentes.
  1. Geração do Espaço: Precisamos mostrar que qualquer operador linear em pode ser escrito como uma combinação de . Como já sabemos que tem dimensão 4 e temos 4 operadores independentes, automaticamente eles geram todo o espaço.

Resposta

Concluímos que tanto os operadores quanto os operadores formam bases para o espaço das transformações lineares .

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Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se são colineares, então são colineares.
Seja um operador linear tal que para algum número natural . Prove que, , o operador é invertível.
Quais das transformações abaixo são lineares?
(b) ;
Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s. Qual é a posição relativa das retas AC e BD ?