Mostre que os operadores lineares
, definidos por:
constituem uma base do espaço
. Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que certos operadores lineares formam uma base para o espaço das transformações lineares de
, que a gente denota por
. Basicamente, uma base é um conjunto de elementos que são suficientes para construir qualquer elemento do espaço através de combinações lineares, e que esses elementos não se redundam (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores lineares e como verificar se eles formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os operadores
definidos por:
Esses operadores podem ser representados por matrizes 2x2. Por exemplo,
corresponde à matriz:
E de forma semelhante para os outros operadores. Agora, o espaço
tem dimensão 4, porque cada operador linear pode ser representado por uma matriz 2x2, e há 4 entradas nessa matriz.
Passo 3
Para mostrar que
formam uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
.
- Independência Linear: Suponha que uma combinação linear desses operadores dá o operador zero:
Isso significa que para todo
, temos:
Calculando isso, obtemos:
Para que isso seja verdadeiro para todos
e
, devemos ter
. Portanto, os operadores são linearmente independentes.
- Geração do Espaço: Qualquer operador linear em
pode ser escrito como uma combinação desses . Por exemplo, um operador com matriz pode ser escrito como:
Isso mostra que eles geram todo o espaço
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício, onde precisamos mostrar que os operadores
também formam uma base para
. Eles são definidos por:
Primeiro, vamos entender as matrizes correspondentes a esses operadores:
Passo 5
Para verificar se
formam uma base, seguimos os mesmos passos de antes: verificar a independência linear e se eles geram todo o espaço.
- Independência Linear: Suponha que exista uma combinação linear desses operadores que resulte no operador zero:
Isso significa que para todo
:
Substituindo as definições:
Isso resulta em um sistema de equações:
Para que isso seja válido para todos
e
, os coeficientes de
e
devem ser zero. Resolvendo o sistema, encontramos que
. Portanto, os operadores são linearmente independentes.
- Geração do Espaço: Precisamos mostrar que qualquer operador linear em
pode ser escrito como uma combinação de . Como já sabemos que tem dimensão 4 e temos 4 operadores independentes, automaticamente eles geram todo o espaço.
Resposta
Concluímos que tanto os operadores
quanto os operadores
formam bases para o espaço das transformações lineares
.
Exercícios relacionados
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se são colineares, então
são colineares.
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se
Seja
um operador linear tal que
para algum número natural
. Prove que,
, o operador
é invertível.
Quais das transformações abaixo são lineares?
(b) ;
(b)
Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s. Qual é a posição relativa das retas AC e BD ?