Quais das transformações abaixo são lineares?
(b) ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma transformação definida por , onde é um número real. Nosso objetivo é determinar se essa transformação é linear ou não. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de transformação linear e as propriedades que elas devem satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e no espaço de entrada.
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor no espaço de entrada e qualquer escalar .
Além disso, uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero. Ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se a transformação cumpre essas propriedades.
Primeiro, considere o vetor zero :
Para que seja linear, devemos ter , ou seja:
Isso só é verdadeiro se .

Passo 4

Agora, vamos supor que e verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Aditividade:
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear se e somente se . Caso contrário, não é linear.

Exercícios relacionados

Mostre que os operadores lineares , definidos por:
constituem uma base do espaço . Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores , onde:
Assinale Verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique em cada caso:
É dado um transformação linear
(d) ( ) Se são colineares, então são colineares.
Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s. Qual é a posição relativa das retas AC e BD ?
Dado o operador linear , seja o núcleo de . Mostre que se, e somente se, tem-se .