Quais das transformações abaixo são lineares?
(b) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(3 x, a, 5 z), a in R;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma transformação definida por , onde é um número real. Nosso objetivo é determinar se essa transformação é linear ou não. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de transformação linear e as propriedades que elas devem satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e no espaço de entrada.
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor no espaço de entrada e qualquer escalar .
Além disso, uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero. Ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se a transformação T(0, 0, 0) = (3 cdot 0, a, 5 cdot 0) = (0, a, 0) cumpre essas propriedades.
Primeiro, considere o vetor zero (0, a, 0) = (0, 0, 0) :
Para que seja linear, devemos ter , ou seja:
Isso só é verdadeiro se .

Passo 4

Agora, vamos supor que T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (3(x1 + x2), 0, 5(z1 + z2)) = (3x1 + 3x2, 0, 5z1 + 5z2) e verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Aditividade:
T(u) + T(v) = (3x1, 0, 5z1) + (3x2, 0, 5z2) = (3x1 + 3x2, 0 + 0, 5z1 + 5z2)
T(cu) = T(cx, cy, cz) = (3(cx), 0, 5(cz)) = (c cdot 3x, 0, c cdot 5z)
Como cT(u) = c(3x, 0, 5z) = (c cdot 3x, c cdot 0, c cdot 5z) = (c cdot 3x, 0, c cdot 5z) , a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear se e somente se . Caso contrário, não é linear.

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