Quais das transformações abaixo são lineares?
(b)
;
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma transformação
definida por
, onde
é um número real. Nosso objetivo é determinar se essa transformação é linear ou não. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de transformação linear e as propriedades que elas devem satisfazer.
Passo 2
Uma transformação
é considerada linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e no espaço de entrada. - Homogeneidade:
para qualquer vetor no espaço de entrada e qualquer escalar .
Além disso, uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se a transformação
cumpre essas propriedades.
Primeiro, considere o vetor zero
:
Para que
seja linear, devemos ter
, ou seja:
Isso só é verdadeiro se
.
Passo 4
Agora, vamos supor que
e verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Aditividade:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Como
, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear se e somente se
. Caso contrário, não é linear.