Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(a) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(b) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem e diferente da matriz nula, vale que
© ( ) .
(d) ( ) Sejam e matrizes quadradas de ordem , ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de forem todos pares, então os elementos de e de serão todos pares.
(e) ( ) Se para todo , então .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre matrizes! A gente vai precisar entender alguns conceitos básicos de operações com matrizes, como multiplicação, transposição, traço e propriedades de matrizes especiais como a matriz nula. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a)

Enunciado: Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Vamos multiplicar :
Para que seja igual a , precisamos que , ou seja, que e comutam. Mas, em geral, duas matrizes não necessariamente comutam. Portanto, a igualdade só vale se , o que nem sempre acontece.

Passo 3

Parte (b)

Enunciado: Se e são matrizes quadradas de mesma ordem e é diferente da matriz nula, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Para que implique , a matriz precisa ser invertível. Mas o enunciado só diz que não é a matriz nula, não garantindo que seja invertível. Podemos dar um contraexemplo:
  • Seja ,
  • ,
  • .
Aqui, , mas .

Passo 4

Parte ©

Enunciado: .
Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, e a propriedade importante aqui é que para qualquer duas matrizes e de mesmas dimensões, . Aplicando isso:
Portanto, a igualdade é verdadeira.

Passo 5

Parte (d)

Enunciado: Sejam e matrizes quadradas de ordem , ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de forem todos pares, então os elementos de e de serão todos pares.
Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: Cada elemento de (e de ) é uma soma de produtos dos elementos correspondentes de e . Como todos os elementos de são pares, qualquer produto envolvendo um elemento de será par (pois par × inteiro = par). A soma de números pares também é par. Portanto, todos os elementos de e de serão pares.

Passo 6

Parte (e)

Enunciado: Se para todo , então .
Resposta: Falso.
Justificativa: Uma matriz para a qual para algum é chamada de matriz nilpotente. No entanto, isso não implica necessariamente que seja a matriz nula. Por exemplo, considere:
Então:
Mas .

Resposta

(a) F
(b) F
© V
(d) V
(e) F

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique. (e) Se é uma matriz identidade, então .
Dadas as matrizes:
determine:
(a)
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(f) .
Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . ©
Use o resultado do exercício anterior para encontrar a inversa da matriz , sendo um número real arbitrário. Use a relação trigonométrica