Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(a) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(b) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem e diferente da matriz nula, vale que
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre matrizes! A gente vai precisar entender alguns conceitos básicos de operações com matrizes, como multiplicação, transposição, traço e propriedades de matrizes especiais como a matriz nula. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a)
Enunciado: Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Vamos multiplicar :
Para que seja igual a , precisamos que , ou seja, que e comutam. Mas, em geral, duas matrizes não necessariamente comutam. Portanto, a igualdade só vale se , o que nem sempre acontece.
Passo 3
Parte (b)
Enunciado: Se e são matrizes quadradas de mesma ordem e é diferente da matriz nula, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Para que implique , a matriz precisa ser invertível. Mas o enunciado só diz que não é a matriz nula, não garantindo que seja invertível. Podemos dar um contraexemplo:
Justificativa: O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, e a propriedade importante aqui é que para qualquer duas matrizes e de mesmas dimensões, . Aplicando isso:
Portanto, a igualdade é verdadeira.
Passo 5
Parte (d)
Enunciado: Sejam e matrizes quadradas de ordem , ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de forem todos pares, então os elementos de e de serão todos pares. Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: Cada elemento de (e de ) é uma soma de produtos dos elementos correspondentes de e . Como todos os elementos de são pares, qualquer produto envolvendo um elemento de será par (pois par × inteiro = par). A soma de números pares também é par. Portanto, todos os elementos de e de serão pares.
Passo 6
Parte (e)
Enunciado: Se para todo , então . Resposta: Falso.
Justificativa: Uma matriz para a qual para algum é chamada de matriz nilpotente. No entanto, isso não implica necessariamente que seja a matriz nula. Por exemplo, considere: