Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(a) ( ) Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(b) ( ) Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem e
diferente da matriz nula, vale que
© ( )
.
(d) ( ) Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
, ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de
forem todos pares, então os elementos de
e de
serão todos pares.
(e) ( ) Se
para todo
, então
.
(a) ( ) Se
(d) ( ) Sejam
(e) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre matrizes! A gente vai precisar entender alguns conceitos básicos de operações com matrizes, como multiplicação, transposição, traço e propriedades de matrizes especiais como a matriz nula. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a)
Enunciado: Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Vamos multiplicar
:
Para que seja igual a
, precisamos que
, ou seja, que
e
comutam. Mas, em geral, duas matrizes não necessariamente comutam. Portanto, a igualdade só vale se
, o que nem sempre acontece.
Passo 3
Parte (b)
Enunciado: Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem e
é diferente da matriz nula, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Para que
implique
, a matriz
precisa ser invertível. Mas o enunciado só diz que
não é a matriz nula, não garantindo que
seja invertível. Podemos dar um contraexemplo:
- Seja
, -
, -
.
Aqui,
, mas
.
Passo 4
Parte ©
Enunciado:
.
Resposta: Verdadeiro.
Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, e a propriedade importante aqui é que para qualquer duas matrizes
e
de mesmas dimensões,
. Aplicando isso:
Portanto, a igualdade é verdadeira.
Passo 5
Parte (d)
Enunciado: Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
, ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de
forem todos pares, então os elementos de
e de
serão todos pares.
Resposta: Verdadeiro.
Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: Cada elemento de
(e de
) é uma soma de produtos dos elementos correspondentes de
e
. Como todos os elementos de
são pares, qualquer produto envolvendo um elemento de
será par (pois par × inteiro = par). A soma de números pares também é par. Portanto, todos os elementos de
e de
serão pares.
Passo 6
Parte (e)
Enunciado: Se
para todo
, então
.
Resposta: Falso.
Resposta: Falso.
Justificativa: Uma matriz
para a qual
para algum
é chamada de matriz nilpotente. No entanto, isso não implica necessariamente que
seja a matriz nula. Por exemplo, considere:
Então:
Mas
.
Resposta
(a) F
(b) F
© V
(d) V
(e) F
(b) F
© V
(d) V
(e) F