Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(a) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(A-B)(A+B)=A^2-B^2
(b) ( ) Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem e A diferente da matriz nula, vale que
A B=A C Rightarrow B=C
© ( ) tr(A^t A)=tr(A A^t).
(d) ( ) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de A forem todos pares, então os elementos de A B e de B A serão todos pares.
(e) ( ) Se A^k=0 para todo k >= 2, então A=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre matrizes! A gente vai precisar entender alguns conceitos básicos de operações com matrizes, como multiplicação, transposição, traço e propriedades de matrizes especiais como a matriz nula. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a)

Enunciado: Se (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 e (A - B)(A + B) = A(A) + A(B) - B(A) - B(B) = A^2 + AB - BA - B^2 são matrizes quadradas de mesma ordem, então
Resposta: Falso.
Justificativa: Vamos multiplicar :
Para que seja igual a , precisamos que , ou seja, que e comutam. Mas, em geral, duas matrizes não necessariamente comutam. Portanto, a igualdade só vale se , o que nem sempre acontece.

Passo 3

Parte (b)

Enunciado: Se A B = A C Rightarrow B = C e 1 & 0 0 & 0 são matrizes quadradas de mesma ordem e 1 & 1 1 & 1 é diferente da matriz nula, então
1 & 2 1 & 2
Resposta: Falso.
Justificativa: Para que 1 & 1 0 & 0 implique , a matriz precisa ser invertível. Mas o enunciado só diz que não é a matriz nula, não garantindo que seja invertível. Podemos dar um contraexemplo:
  • Seja ,
  • ,
  • .
Aqui, , mas .

Passo 4

Parte ©

Enunciado: tr(A^t A) = tr(A A^t) .
Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, e a propriedade importante aqui é que para qualquer duas matrizes e de mesmas dimensões, . Aplicando isso:
Portanto, a igualdade é verdadeira.

Passo 5

Parte (d)

Enunciado: Sejam e matrizes quadradas de ordem , ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de forem todos pares, então os elementos de e de serão todos pares.
Resposta: Verdadeiro.
Justificativa: Cada elemento de (e de ) é uma soma de produtos dos elementos correspondentes de e . Como todos os elementos de são pares, qualquer produto envolvendo um elemento de será par (pois par × inteiro = par). A soma de números pares também é par. Portanto, todos os elementos de e de serão pares.

Passo 6

Parte (e)

Enunciado: Se A = 0 & 1 0 & 0 para todo A^2 = 0 & 0 0 & 0 , então .
Resposta: Falso.
Justificativa: Uma matriz para a qual para algum é chamada de matriz nilpotente. No entanto, isso não implica necessariamente que seja a matriz nula. Por exemplo, considere:
Então:
Mas .

Resposta

(a) F
(b) F
© V
(d) V
(e) F

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