Use o resultado do exercício anterior para encontrar a inversa da matriz , sendo um número real arbitrário. Use a relação trigonométrica

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz definida por:
O objetivo aqui é encontrar a inversa dessa matriz . Para isso, vamos usar o resultado do exercício anterior e a relação trigonométrica . Vamos precisar lembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2 e aplicar a identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz geral:
A inversa de , denotada por , é dada por:
Mas, para que a inversa exista, o determinante deve ser diferente de zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz . Identificando os elementos:
Agora, calculamos o determinante de :

Passo 4

Usando a relação trigonométrica fornecida:
Portanto, o determinante de é igual a 1. Isso significa que a matriz é inversível.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

A inversa da matriz é:

Exercícios relacionados

Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . ©
Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(a) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(b) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem e diferente da matriz nula, vale que
© ( ) .
(d) ( ) Sejam e matrizes quadradas de ordem , ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de forem todos pares, então os elementos de e de serão todos pares.
(e) ( ) Se para todo , então .
Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: (d)
Encontre a inversa da matriz , sabendo que .