Use o resultado do exercício anterior para encontrar a inversa da matriz A= [rrcos (theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos (theta)], sendo theta um número real arbitrário. Use a relação trigonométrica cos ^2(theta)+sen^2(theta)=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A = cos(theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos(theta) definida por:
O objetivo aqui é encontrar a inversa dessa matriz . Para isso, vamos usar o resultado do exercício anterior e a relação trigonométrica . Vamos precisar lembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2 e aplicar a identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar a inversa de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz geral:
M = a & b c & d
A inversa de M^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , denotada por , é dada por:
Mas, para que a inversa exista, o determinante deve ser diferente de zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz a = cos(theta), b = sen(theta), c = -sen(theta), d = cos(theta) . Identificando os elementos:
Agora, calculamos o determinante de det(A) = a cdot d - b cdot c = cos(theta) cdot cos(theta) - sen(theta) cdot (-sen(theta)) = cos^2(theta) + sen^2(theta) :

Passo 4

Usando a relação trigonométrica fornecida:
Portanto, o determinante de cos^2(theta) + sen^2(theta) = 1 é igual a 1. Isso significa que a matriz é inversível.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = cos(theta) & -sen(theta) sen(theta) & cos(theta) é:

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