Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . ©

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o determinante da matriz , que é uma versão rearranjada da matriz original cujo determinante já sabemos que é 5. Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso. Precisamos entender como as operações nas linhas da matriz afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o determinante de uma matriz é um número que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Quando trocamos duas linhas de uma matriz, o sinal do determinante muda. Por exemplo, se o determinante era 5, após uma troca de linhas, será -5.

Passo 3

Agora, vamos analisar como a matriz foi formada a partir da matriz original:
Matriz original:
Matriz :
Para passar da matriz original para a matriz , precisamos fazer algumas trocas de linhas.

Passo 4

Primeiro, trocamos a primeira linha com a segunda:
Essa troca muda o sinal do determinante. Então, se o determinante original era 5, agora será -5.
Depois, trocamos a segunda linha com a terceira:
Mais uma troca de linhas muda o sinal novamente. Agora, o determinante volta a ser positivo.

Resposta

Portanto, o determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(a) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem, então
(b) ( ) Se e são matrizes quadradas de mesma ordem e diferente da matriz nula, vale que
© ( ) .
(d) ( ) Sejam e matrizes quadradas de ordem , ambas compostas por inteiros positivos. Se os elementos de forem todos pares, então os elementos de e de serão todos pares.
(e) ( ) Se para todo , então .
Classifique as afirmações abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique. (e) Se é uma matriz identidade, então .
Use o resultado do exercício anterior para encontrar a inversa da matriz , sendo um número real arbitrário. Use a relação trigonométrica
Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: (d)