Assinale o vetor que é uma combinação linear de u=(0,2,-2) e v=(1,-3,0), em que coordenadas são dadas em relação a uma base fixada de V^3.
(A) (-1,-5,0)
(B) (0,4,5)
© (2,-6,2)
(D) (1,-2,2)
(E) (-1,1,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, u = (0, 2, -2) e v = (1, -3, 0). O objetivo é identificar qual dos vetores apresentados nas opções (A) a (E) pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de combinação linear de vetores e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Uma combinação linear de dois vetores u e v é uma expressão da forma:
lambda u + mu v
onde lambda e mu são escalares (números reais). Nosso objetivo é encontrar valores de lambda e mu que, ao combinarmos u e v dessa forma, resultem em um dos vetores das opções.

Passo 3

Vamos considerar cada opção e verificar se ela pode ser expressa como lambda u + mu v. Vamos começar pela opção (A):
Opção (A): (-1, -5, 0)
Queremos encontrar lambda e mu tais que:
lambda (0, 2, -2) + mu (1, -3, 0) = (-1, -5, 0)
Isso gera o seguinte sistema de equações:
0lambda + 1mu = -1 2lambda - 3mu = -5 -2lambda + 0mu = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
-2lambda = 0 Rightarrow lambda = 0
Substituindo lambda = 0 na primeira equação:
mu = -1
Agora, verificamos na segunda equação:
2(0) - 3(-1) = 0 + 3 = 3 neq -5
Como a equação não é satisfeita, a opção (A) não é uma combinação linear de u e v.

Passo 5

Vamos verificar agora a opção ©:
Opção ©: (2, -6, 2)
Queremos:
lambda (0, 2, -2) + mu (1, -3, 0) = (2, -6, 2)
Que resulta no sistema:
0lambda + 1mu = 2 2lambda - 3mu = -6 -2lambda + 0mu = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
-2lambda = 2 Rightarrow lambda = -1
Substituindo lambda = -1 na primeira equação:
mu = 2
Verificando na segunda equação:
2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8 neq -6
Como a equação não é satisfeita, a opção © não é uma combinação linear de u e v.

Passo 7

Agora, vamos verificar a opção (D):
Opção (D): (1, -2, 2)
Queremos:
lambda (0, 2, -2) + mu (1, -3, 0) = (1, -2, 2)
Sistema de equações:
0lambda + 1mu = 1 2lambda - 3mu = -2 -2lambda + 0mu = 2

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
-2lambda = 2 Rightarrow lambda = -1
Substituindo lambda = -1 na primeira equação:
mu = 1
Verificando na segunda equação:
2(-1) - 3(1) = -2 - 3 = -5 neq -2
Como a equação não é satisfeita, a opção (D) não é uma combinação linear de u e v.

Passo 9

Vamos agora verificar a opção (E):
Opção (E): (-1, 1, 2)
Queremos:
lambda (0, 2, -2) + mu (1, -3, 0) = (-1, 1, 2)
Sistema de equações:
0lambda + 1mu = -1 2lambda - 3mu = 1 -2lambda + 0mu = 2

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
-2lambda = 2 Rightarrow lambda = -1
Substituindo lambda = -1 na primeira equação:
mu = -1
Verificando na segunda equação:
2(-1) - 3(-1) = -2 + 3 = 1
A equação é satisfeita. Portanto, a opção (E) é uma combinação linear de u e v.

Resposta

A opção correta é a (E) (-1, 1, 2).

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