Assinale o vetor que é uma combinação linear de e , em que coordenadas são dadas em relação a uma base fixada de .
(A)
(B)
©
(D)
(E)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . O objetivo é identificar qual dos vetores apresentados nas opções (A) a (E) pode ser obtido como uma combinação linear desses dois vetores. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de combinação linear de vetores e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Uma combinação linear de dois vetores e é uma expressão da forma:
onde e são escalares (números reais). Nosso objetivo é encontrar valores de e que, ao combinarmos e dessa forma, resultem em um dos vetores das opções.

Passo 3

Vamos considerar cada opção e verificar se ela pode ser expressa como . Vamos começar pela opção (A):
Opção (A):
Queremos encontrar e tais que:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos na segunda equação:
Como a equação não é satisfeita, a opção (A) não é uma combinação linear de e .

Passo 5

Vamos verificar agora a opção ©:
Opção ©:
Queremos:
Que resulta no sistema:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Verificando na segunda equação:
Como a equação não é satisfeita, a opção © não é uma combinação linear de e .

Passo 7

Agora, vamos verificar a opção (D):
Opção (D):
Queremos:
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Verificando na segunda equação:
Como a equação não é satisfeita, a opção (D) não é uma combinação linear de e .

Passo 9

Vamos agora verificar a opção (E):
Opção (E):
Queremos:
Sistema de equações:

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Verificando na segunda equação:
A equação é satisfeita. Portanto, a opção (E) é uma combinação linear de e .

Resposta

A opção correta é a (E) .

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