Sejam e três vetores linearmente indepententes em , seja um ponto de e seja . Considere os pontos de tais que
Determine de modo que os vetores e sejam linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos a gente vai usar para resolver isso.
Enunciado resumido:
Temos três vetores , e que são linearmente independentes em . Também temos quatro pontos no espaço, com as posições dadas em termos desses vetores. Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente dependentes.
Conceitos necessários:
Vetores Linearmente Independentes: Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Vetores Linearmente Dependentes: Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Combinação Linear e Determinante: Para três vetores em , eles são linearmente dependentes se o determinante formado por suas componentes for zero.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores , e em termos de , e .
Lembrando que:
Vamos calcular cada um deles.
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Agora que temos , e em termos de , e , precisamos determinar quando esses três vetores são linearmente dependentes.
Como , e são linearmente independentes, podemos representar cada vetor como uma combinação linear desses três vetores e usar o determinante para verificar a dependência.
A condição para que os vetores , e sejam linearmente dependentes é que o determinante da matriz formada por seus coeficientes seja igual a zero.
Vamos montar essa matriz:
Passo 7
Vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para encontrar .
Calculando o determinante:
Calculando cada menor:
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Agora temos uma equação quadrática para :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:
Resposta
Os valores de que fazem os vetores , e serem linearmente dependentes são: