Sejam e três vetores linearmente indepententes em , seja um ponto de e seja . Considere os pontos de tais que
Determine lambda de modo que os vetores A B, A C e A D sejam linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos a gente vai usar para resolver isso.
Enunciado resumido:
Temos três vetores , e que são linearmente independentes em . Também temos quatro pontos no espaço, com as posições dadas em termos desses vetores. Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente dependentes.
Conceitos necessários:
Vetores Linearmente Independentes: Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Vetores Linearmente Dependentes: Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Combinação Linear e Determinante: Para três vetores em , eles são linearmente dependentes se o determinante formado por suas componentes for zero.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores AB = OB - OA , AC = OC - OA e AD = OD - OA em termos de , e .
Lembrando que:
Vamos calcular cada um deles.
Passo 3
Calculando AB = OB - OA = (-u + v - 2w) - (u - 2v + w) :
= -u + v - 2w - u + 2v - w
= -2u + 3v - 3w
Passo 4
Calculando AC = OC - OA = (lambda u + v - w) - (u - 2v + w) :
= lambda u + v - w - u + 2v - w
= (lambda - 1)u + 3v - 2w
Passo 5
Calculando AD = OD - OA = (-2u - lambda v) - (u - 2v + w) :
= -2u - lambda v - u + 2v - w
= -3u + (2 - lambda)v - w
Passo 6
Agora que temos -2 & 3 & -3 lambda - 1 & 3 & -2 -3 & 2 - lambda & -1 , e em termos de , e , precisamos determinar quando esses três vetores são linearmente dependentes.
Como , e são linearmente independentes, podemos representar cada vetor como uma combinação linear desses três vetores e usar o determinante para verificar a dependência.
A condição para que os vetores , e sejam linearmente dependentes é que o determinante da matriz formada por seus coeficientes seja igual a zero.