Sejam u, v e w três vetores linearmente indepententes em V^3, seja O um ponto de E^3 e seja lambda in R. Considere os pontos A, B, C, D de E^3 tais que
O A=u-2 v+w, O B=-u+v-2 w, O C=lambda u+v-w, O D=-2 u-lambda v
Determine lambda de modo que os vetores A B, A C e A D sejam linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos a gente vai usar para resolver isso.
Enunciado resumido:
Temos três vetores , e que são linearmente independentes em . Também temos quatro pontos no espaço, com as posições dadas em termos desses vetores. Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente dependentes.
Conceitos necessários:
  1. Vetores Linearmente Independentes: Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
  2. Vetores Linearmente Dependentes: Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
  3. Combinação Linear e Determinante: Para três vetores em , eles são linearmente dependentes se o determinante formado por suas componentes for zero.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores AB = OB - OA , AC = OC - OA e AD = OD - OA em termos de , e .
Lembrando que:
Vamos calcular cada um deles.

Passo 3

Calculando AB = OB - OA = (-u + v - 2w) - (u - 2v + w) :
= -u + v - 2w - u + 2v - w
= -2u + 3v - 3w

Passo 4

Calculando AC = OC - OA = (lambda u + v - w) - (u - 2v + w) :
= lambda u + v - w - u + 2v - w
= (lambda - 1)u + 3v - 2w

Passo 5

Calculando AD = OD - OA = (-2u - lambda v) - (u - 2v + w) :
= -2u - lambda v - u + 2v - w
= -3u + (2 - lambda)v - w

Passo 6

Agora que temos -2 & 3 & -3 lambda - 1 & 3 & -2 -3 & 2 - lambda & -1 , e em termos de , e , precisamos determinar quando esses três vetores são linearmente dependentes.
Como , e são linearmente independentes, podemos representar cada vetor como uma combinação linear desses três vetores e usar o determinante para verificar a dependência.
A condição para que os vetores , e sejam linearmente dependentes é que o determinante da matriz formada por seus coeficientes seja igual a zero.
Vamos montar essa matriz:

Passo 7

Vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para encontrar -2 & 3 & -3 lambda - 1 & 3 & -2 -3 & 2 - lambda & -1 = -2 cdot 3 & -2 2 - lambda & -1 - 3 cdot lambda - 1 & -2 -3 & -1 - 3 cdot lambda - 1 & 3 -3 & 2 - lambda .
Calculando o determinante:
3 & -2 2 - lambda & -1
Calculando cada menor:
  1. lambda - 1 & -2 -3 & -1
  2. lambda - 1 & 3 -3 & 2 - lambda
  3. -2(1 - 2lambda) - 3(-lambda - 5) - 3(-lambda^2 + 3lambda + 7) = 0
Agora, substituindo de volta:
-2 + 4lambda + 3lambda + 15 + 3lambda^2 - 9lambda - 21 = 0
Simplificando:
3lambda^2 - 2lambda - 8 = 0

Passo 8

Agora temos uma equação quadrática para 3lambda^2 - 2lambda - 8 = 0 :
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde lambda = 2 pm raiz1006 = 2 pm 106 , e .
Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:

Resposta

Os valores de lambda = 2 ou lambda = -43 que fazem os vetores , e serem linearmente dependentes são:

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