Sejam e três vetores linearmente indepententes em , seja um ponto de e seja . Considere os pontos de tais que
Determine de modo que os vetores e sejam linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos a gente vai usar para resolver isso.
Enunciado resumido:
Temos três vetores , e que são linearmente independentes em . Também temos quatro pontos no espaço, com as posições dadas em termos desses vetores. Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que os vetores , e sejam linearmente dependentes.
Conceitos necessários:
  1. Vetores Linearmente Independentes: Três vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
  2. Vetores Linearmente Dependentes: Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
  3. Combinação Linear e Determinante: Para três vetores em , eles são linearmente dependentes se o determinante formado por suas componentes for zero.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores , e em termos de , e .
Lembrando que:
Vamos calcular cada um deles.

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora que temos , e em termos de , e , precisamos determinar quando esses três vetores são linearmente dependentes.
Como , e são linearmente independentes, podemos representar cada vetor como uma combinação linear desses três vetores e usar o determinante para verificar a dependência.
A condição para que os vetores , e sejam linearmente dependentes é que o determinante da matriz formada por seus coeficientes seja igual a zero.
Vamos montar essa matriz:

Passo 7

Vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para encontrar .
Calculando o determinante:
Calculando cada menor:
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Agora temos uma equação quadrática para :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:

Resposta

Os valores de que fazem os vetores , e serem linearmente dependentes são:

Exercícios relacionados

Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(n) ;
Dada a parábola de equação polar , calcular as coordenadas polares do vértice e a equação da diretriz.
Assinale o vetor que é uma combinação linear de e , em que coordenadas são dadas em relação a uma base fixada de .
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(Concóide de Nicomedes) Seja uma reta fixa (diretriz) e um ponto fixo. Sejam o pé da perpendicular a passando por e uma semi-reta com origem cortando no ponto . A partir desse ponto, marquemos um ponto sobre com comprimento constante . O segmento pode ser tomado para a direita ou para a esquerda de . A curva gerada por quando gira em torno de denomina-se Concóide de Nicomedes ou concóide da reta.
(i) Encontre a equação polar da Concóide de Nicomedes.